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Niveau 1 — Convexité — 15 min

Convexité à partir du tableau de variations de f'

On donne le tableau de variations de la dérivée f′f' d'une fonction ff définie et deux fois dérivable sur R\mathbb{R} :

xx−∞-\infty0022+∞+\infty
f′f'11↗\nearrow33↘\searrow−1-1↗\nearrow22

  1. Sur ]−∞ ; 0]]-\infty\,;\,0], ff est-elle convexe ou concave ? Justifier.

  2. Sur [0 ; 2][0\,;\,2], ff est-elle convexe ou concave ? Justifier.

  3. Sur [2 ; +∞[[2\,;\,+\infty[, que peut-on dire de la convexité de ff ?

  4. La courbe Cf\mathcal{C}_f admet-elle des points d'inflexion ? Donner leurs abscisses.

  5. La fonction ff est-elle convexe sur R\mathbb{R} ? Quel est le signe de f′′f'' sur chacun des intervalles ]−∞ ; 0[]-\infty\,;\,0[, ]0 ; 2[]0\,;\,2[, ]2 ; +∞[]2\,;\,+\infty[ ?

Niveau 1 — Convexité — 15 min

Corrigé — Convexité à partir du tableau de variations de f'

  1. Sur ]−∞ ; 0]]-\infty\,;\,0], f′f' est croissante (le tableau indique ↗\nearrow). Une fonction dont la dérivée est croissante est convexe : ff est convexe sur ]−∞ ; 0]]-\infty\,;\,0].

  2. Sur [0 ; 2][0\,;\,2], f′f' est décroissante. Donc ff est concave sur [0 ; 2][0\,;\,2].

  3. Sur [2 ; +∞[[2\,;\,+\infty[, f′f' est croissante : ff est convexe.

  4. La convexité change en x=0x=0 (convexe →\to concave) et en x=2x=2 (concave →\to convexe). La courbe Cf\mathcal{C}_f admet donc deux points d'inflexion, d'abscisses 00 et 22.

  5. Non : ff n'est pas convexe sur R\mathbb{R} car elle est concave sur [0 ; 2][0\,;\,2].

    On a f′′>0f''>0 sur ]−∞ ; 0[]-\infty\,;\,0[ (f′f' croissante), f′′<0f''<0 sur ]0 ; 2[]0\,;\,2[ (f′f' décroissante) et f′′>0f''>0 sur ]2 ; +∞[]2\,;\,+\infty[.