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Niveau 1 — Convexité — 15 min

Calculer f'' et étudier la convexité

Dans chaque question, la fonction est définie et deux fois dérivable sur l'ensemble indiqué.

  1. Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2−4x+1f(x)=x^2-4x+1. Calculer f′(x)f'(x) et f′′(x)f''(x), étudier le signe de f′′f'' et en déduire la convexité de ff sur R\mathbb{R}.

  2. Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=−3x2+xf(x)=-3x^2+x. Calculer f′(x)f'(x) et f′′(x)f''(x), étudier le signe de f′′f'' et en déduire la convexité de ff sur R\mathbb{R}.

  3. Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x3−6x2+xf(x)=x^3-6x^2+x. Calculer f′(x)f'(x) et f′′(x)f''(x), étudier le signe de f′′f'' et en déduire la convexité de ff sur R\mathbb{R}.

  4. Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=e2xf(x)=e^{2x}. Calculer f′(x)f'(x) et f′′(x)f''(x), étudier le signe de f′′f'' et en déduire la convexité de ff sur R\mathbb{R}.

  5. Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=−ex+xf(x)=-e^{x}+x. Calculer f′(x)f'(x) et f′′(x)f''(x), étudier le signe de f′′f'' et en déduire la convexité de ff sur R\mathbb{R}.

Niveau 1 — Convexité — 15 min

Corrigé — Calculer f'' et étudier la convexité

  1. ff est deux fois dérivable sur R\mathbb{R}. f′(x)=2x−4f'(x)=2x-4 et f′′(x)=2f''(x)=2.

    f′′(x)=2>0f''(x)=2>0 pour tout réel xx.

    Donc ff est convexe sur R\mathbb{R}.

  2. ff est deux fois dérivable sur R\mathbb{R}. f′(x)=−6x+1f'(x)=-6x+1 et f′′(x)=−6f''(x)=-6.

    f′′(x)=−6<0f''(x)=-6<0 pour tout réel xx.

    Donc ff est concave sur R\mathbb{R}.

  3. ff est deux fois dérivable sur R\mathbb{R}. f′(x)=3x2−12x+1f'(x)=3x^2-12x+1 et f′′(x)=6x−12=6(x−2)f''(x)=6x-12=6(x-2).

    f′′(x)=6(x−2)f''(x)=6(x-2) est négative pour x<2x<2, nulle en 22, positive pour x>2x>2.

    Donc ff est concave sur ]−∞ ; 2]]-\infty\,;\,2] et convexe sur [2 ; +∞[[2\,;\,+\infty[. Le point d'abscisse 22 est un point d'inflexion, car f′′f'' s'y annule en changeant de signe.

  4. ff est deux fois dérivable sur R\mathbb{R}. f′(x)=2e2xf'(x)=2e^{2x} et f′′(x)=4e2xf''(x)=4e^{2x}.

    e2x>0e^{2x}>0 donc f′′(x)=4e2x>0f''(x)=4e^{2x}>0 pour tout réel xx.

    Donc ff est convexe sur R\mathbb{R}.

  5. ff est deux fois dérivable sur R\mathbb{R}. f′(x)=−ex+1f'(x)=-e^{x}+1 et f′′(x)=−exf''(x)=-e^{x}.

    f′′(x)=−ex<0f''(x)=-e^x<0 pour tout réel xx.

    Donc ff est concave sur R\mathbb{R}.