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Niveau 2 — Convexité — 30 min

Un produit (x²−3)e^x

On étudie la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x^2-3)e^{x}$ . On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x^2-3)e^{x}$ . Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
Calculer $f'(x)$ , étudier son signe et dresser le tableau de variations de $f$ .
Calculer $f''(x)$ .
Étudier le signe de $f''(x)$ et en déduire la convexité de $f$ .
Donner les abscisses des points d'inflexion, puis l'équation de la tangente $T$ au point d'abscisse $0$ .
Montrer que $(x^2-3)e^x\leq-3x-3$ pour tout $x\in[-2-\sqrt5\,;\,-2+\sqrt5]$ .

Niveau 2 — Convexité — 30 min

Corrigé — Un produit (x²−3)e^x

En $-\infty$ : $x^2e^x\to0$ et $3e^x\to0$ donc $f(x)\to0$ . En $+\infty$ : $x^2-3\to+\infty$ et $e^x\to+\infty$ donc $f(x)\to+\infty$ .
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=(x+3)(x-1)e^{x}$ .

$e^x>0$ : $f'(x)=(x+3)(x-1)e^x$ a le signe de $(x+3)(x-1)$ : positif sur $]-\infty\,;\,-3[$ , négatif sur $]-3\,;\,1[$ , positif sur $]1\,;\,+\infty[$ . $f(-3)=6e^{-3}\approx0{,}30$ et $f(1)=-2e\approx-5{,}44$ .

$x$ $-\infty$ $-3$ $1$ $+\infty$
$f$ $0$ $\nearrow$ $6e^{-3}$ $\searrow$ $-2e$ $\nearrow$ $+\infty$
$f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f''(x)=(x^2+4x-1)e^{x}$ .
$f''(x)$ a le signe de $x^2+4x-1$ , de racines $-2-\sqrt5\approx-4{,}24$ et $-2+\sqrt5\approx0{,}24$ . $f$ est convexe sur $]-\infty\,;\,-2-\sqrt5]$ et sur $[-2+\sqrt5\,;\,+\infty[$ , concave entre les deux.
$f''$ change de signe en $-2-\sqrt5$ et en $-2+\sqrt5$ : deux points d'inflexion, d'abscisses $-2-\sqrt5$ et $-2+\sqrt5$ .

$f(0)=-3$ et $f'(0)=-3$ : $T : y=-3x-3$ .
$0\in]-2-\sqrt5\,;\,-2+\sqrt5[$ où $f$ est concave : sur $[-2-\sqrt5\,;\,-2+\sqrt5]$ , $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $T$ : $(x^2-3)e^x\leq-3x-3$ .