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Niveau 2 — Convexité — 30 min

La fonction logistique e^x/(e^x+1)

On étudie la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{e^x}{e^x+1}$ . On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{e^x}{e^x+1}$ . Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
Calculer $f'(x)$ , étudier son signe et dresser le tableau de variations de $f$ .
Calculer $f''(x)$ .
Étudier le signe de $f''(x)$ et en déduire la convexité de $f$ .
Déterminer le point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ et l'équation de la tangente $T$ en ce point.
Étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et de $T$ .

Niveau 2 — Convexité — 30 min

Corrigé — La fonction logistique e^x/(e^x+1)

En $-\infty$ : $e^x\to0$ donc $f(x)\to\dfrac01=0$ . En $+\infty$ : $f(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}\to1$ .
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=\dfrac{e^x}{(e^x+1)^2}$ .

$f'(x)=\dfrac{e^x}{(e^x+1)^2}>0$ pour tout réel $x$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , de $0$ (limite) à $1$ (limite).

$x$ $-\infty$ $+\infty$
$f$ $0$ $\nearrow$ $1$
$f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f''(x)=\dfrac{e^x(1-e^x)}{(e^x+1)^3}$ .
Le dénominateur $(e^x+1)^3$ est positif et $e^x>0$ : $f''(x)$ a le signe de $1-e^x$ , positif pour $x<0$ , négatif pour $x>0$ . $f$ est convexe sur $]-\infty\,;\,0]$ et concave sur $[0\,;\,+\infty[$ .
$f''$ change de signe en $0$ : point d'inflexion $\left(0\,;\,\dfrac12\right)$ car $f(0)=\dfrac{1}{2}$ .

$f'(0)=\dfrac{1}{4}$ et $T : y=\dfrac14x+\dfrac12$ .
Sur $]-\infty\,;\,0]$ , $f$ est convexe : $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $T$ . Sur $[0\,;\,+\infty[$ , $f$ est concave : en dessous.