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Niveau 2 — Convexité — 30 min

x − ln(x²+1) : une inflexion à tangente horizontale

On étudie la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x-\ln(x^2+1)$ . On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x-\ln(x^2+1)$ . Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
Calculer $f'(x)$ , étudier son signe et dresser le tableau de variations de $f$ .
Calculer $f''(x)$ .
Étudier le signe de $f''(x)$ et en déduire la convexité de $f$ .
Déterminer les points d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ et l'équation de la tangente $T$ au point d'abscisse $1$ .
Étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et de $T$ sur $[-1\,;\,+\infty[$ .

Niveau 2 — Convexité — 30 min

Corrigé — x − ln(x²+1) : une inflexion à tangente horizontale

$f(x)=x\left(1-\dfrac{\ln(x^2+1)}{x}\right)$ et $\dfrac{\ln(x^2+1)}{x}\to0$ en $\pm\infty$ (croissances comparées, car $\ln(x^2+1)\sim2\ln|x|$ ). Donc $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ .
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=1-\dfrac{2x}{x^2+1}=\dfrac{(x-1)^2}{x^2+1}$ .

$f'(x)=\dfrac{(x-1)^2}{x^2+1}\geq0$ , nulle seulement en $x=1$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (une dérivée positive qui ne s'annule qu'en un point isolé).

$x$ $-\infty$ $+\infty$
$f$ $-\infty$ $\nearrow$ $+\infty$
$f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f''(x)=\dfrac{2(x^2-1)}{(x^2+1)^2}$ .
$f''(x)=\dfrac{2(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2}$ a le signe de $x^2-1$ : positif pour $|x|>1$ , négatif entre. $f$ est convexe sur $]-\infty\,;\,-1]$ et sur $[1\,;\,+\infty[$ , concave sur $[-1\,;\,1]$ .
$f''$ change de signe en $-1$ et en $1$ : deux points d'inflexion, $\left(-1\,;\,-1-\ln2\right)$ et $\left(1\,;\,1-\ln2\right)$ .

$f'(1)=0$ : la tangente en ce point d'inflexion est horizontale : $T : y=1-\ln2$ .
Sur $[-1\,;\,1]$ , $f$ est concave : $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $T$ ; sur $[1\,;\,+\infty[$ , elle est convexe : au-dessus. On le vérifie : $f$ est croissante donc $f(x)\leq f(1)$ pour $x\leq1$ et $f(x)\geq f(1)$ pour $x\geq1$ .