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Niveau 2 — Convexité — 30 min

x ln x − x² : une fonction décroissante

On étudie la fonction ff définie sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par f(x)=xln⁡x−x2f(x)=x\ln x-x^2. On note Cf\mathcal{C}_f sa courbe représentative.

  1. Soit ff la fonction définie sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par f(x)=xln⁡x−x2f(x)=x\ln x-x^2. Déterminer les limites de ff aux bornes de son ensemble de définition.

  2. Calculer f′(x)f'(x), étudier son signe et dresser le tableau de variations de ff.

  3. Calculer f′′(x)f''(x).

  4. Étudier le signe de f′′(x)f''(x) et en déduire la convexité de ff.

  5. Déterminer le point d'inflexion de Cf\mathcal{C}_f et l'équation de la tangente TT en ce point.

  6. Étudier la position relative de Cf\mathcal{C}_f et de TT.

Niveau 2 — Convexité — 30 min

Corrigé — x ln x − x² : une fonction décroissante

  1. En 0+0^+ : xln⁡x→0x\ln x\to0 (croissances comparées) et x2→0x^2\to0, donc f(x)→0f(x)\to0. En +∞+\infty : f(x)=x(ln⁡x−x)f(x)=x(\ln x-x) avec ln⁡x−x=x(ln⁡xx−1)→−∞\ln x-x=x\left(\dfrac{\ln x}{x}-1\right)\to-\infty, donc f(x)→−∞f(x)\to-\infty.

  2. ff est dérivable sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ et f′(x)=ln⁡x+1−2xf'(x)=\ln x+1-2x.

    Le signe de f′(x)=ln⁡x+1−2xf'(x)=\ln x+1-2x n'est pas immédiat : on étudie f′f' grâce à f′′f''. f′′(x)=1−2xxf''(x)=\dfrac{1-2x}{x} est positive sur ]0 ; 12[\left]0\,;\,\dfrac12\right[ et négative après : f′f' est croissante puis décroissante, de maximum f′(12)=ln⁡12+1−1=−ln⁡2<0f'\left(\dfrac12\right)=\ln\dfrac12+1-1=-\ln2<0. Donc f′(x)<0f'(x)<0 pour tout x>0x>0 : ff est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.

    xx00+∞+\infty
    ff00↘\searrow−∞-\infty

  3. ff est deux fois dérivable sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ et f′′(x)=1x−2=1−2xxf''(x)=\dfrac1x-2=\dfrac{1-2x}{x}.

  4. f′′(x)=1−2xxf''(x)=\dfrac{1-2x}{x} est positive pour 0<x<120<x<\dfrac12 et négative pour x>12x>\dfrac12. ff est convexe sur ]0 ; 12]\left]0\,;\,\dfrac12\right] et concave sur [12 ; +∞[\left[\dfrac12\,;\,+\infty\right[.

  5. f′′f'' change de signe en 12\dfrac12 : point d'inflexion d'abscisse 12\dfrac12, d'ordonnée f(12)=12ln⁡12−14=−ln⁡22−14f\left(\dfrac12\right)=\dfrac12\ln\dfrac12-\dfrac14=-\dfrac{\ln2}{2}-\dfrac14.

    f′(12)=−ln⁡2f'\left(\dfrac12\right)=-\ln2 et T:y=−ln⁡2(x−12)−ln⁡22−14=−(ln⁡2)x−14T : y=-\ln2\left(x-\dfrac12\right)-\dfrac{\ln2}{2}-\dfrac14=-(\ln2)x-\dfrac14.

  6. Sur ]0 ; 12]\left]0\,;\,\dfrac12\right], ff est convexe : Cf\mathcal{C}_f est au-dessus de TT. Sur [12 ; +∞[\left[\dfrac12\,;\,+\infty\right[, ff est concave : en dessous.