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Niveau 2 — Convexité — 30 min

Une fonction convexe sur ]0 ; +∞[

On étudie la fonction $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x)=x^2-\ln x$ . On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x)=x^2-\ln x$ . Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
Calculer $f'(x)$ , étudier son signe et dresser le tableau de variations de $f$ .
Calculer $f''(x)$ .
Étudier le signe de $f''(x)$ et en déduire la convexité de $f$ .
La courbe $\mathcal{C}_f$ admet-elle un point d'inflexion ? Déterminer l'équation de la tangente $T$ au point d'abscisse $1$ .
Étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et de $T$ . Que peut-on en déduire ?

Niveau 2 — Convexité — 30 min

Corrigé — Une fonction convexe sur ]0 ; +∞[

En $0^+$ : $x^2\to0$ et $-\ln x\to+\infty$ donc $f(x)\to+\infty$ . En $+\infty$ : $f(x)=x^2\left(1-\dfrac{\ln x}{x^2}\right)$ et $\dfrac{\ln x}{x^2}\to0$ , donc $f(x)\to+\infty$ .
$f$ est dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ et $f'(x)=2x-\dfrac1x=\dfrac{2x^2-1}{x}$ .

Pour $x>0$ , $f'(x)$ a le signe de $2x^2-1$ : négatif sur $\left]0\,;\,\dfrac{\sqrt2}{2}\right[$ , positif ensuite. $f\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=\dfrac12-\ln\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac12+\dfrac12\ln2=\dfrac{1+\ln2}{2}\approx0{,}85$ .

$x$ $0$ $\dfrac{\sqrt2}{2}$ $+\infty$
$f$ $+\infty$ $\searrow$ $\dfrac{1+\ln2}{2}$ $\nearrow$ $+\infty$
$f$ est deux fois dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ et $f''(x)=2+\dfrac{1}{x^2}$ .
$f''(x)=2+\dfrac1{x^2}>0$ pour tout $x>0$ : $f$ est convexe sur $]0\,;\,+\infty[$ .
$f''$ ne s'annule jamais : aucun point d'inflexion.

$f(1)=1$ et $f'(1)=2-1=1$ , donc $T : y=x$ .
$f$ est convexe sur $]0\,;\,+\infty[$ : $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $T$ sur tout l'intervalle, c'est-à-dire $x^2-\ln x\geq x$ pour tout $x>0$ .