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Niveau 2 — Convexité — 30 min

La fonction x e^{−x}

On étudie la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x\,e^{-x}$ . On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x\,e^{-x}$ . Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
Calculer $f'(x)$ , étudier son signe et dresser le tableau de variations de $f$ .
Calculer $f''(x)$ .
Étudier le signe de $f''(x)$ et en déduire la convexité de $f$ .
Déterminer le point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ et l'équation de la tangente $T$ en ce point.
Étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et de $T$ .

Niveau 2 — Convexité — 30 min

Corrigé — La fonction x e^{−x}

En $-\infty$ : $x\to-\infty$ et $e^{-x}\to+\infty$ , donc $f(x)\to-\infty$ . En $+\infty$ : $f(x)=\dfrac{x}{e^x}\to0$ (croissances comparées).
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=(1-x)e^{-x}$ .

$e^{-x}>0$ : $f'(x)$ a le signe de $1-x$ . $f$ est croissante sur $]-\infty\,;\,1]$ et décroissante sur $[1\,;\,+\infty[$ , avec $f(1)=e^{-1}\approx0{,}37$ .

$x$ $-\infty$ $1$ $+\infty$
$f$ $-\infty$ $\nearrow$ $e^{-1}$ $\searrow$ $0$
$f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f''(x)=(x-2)e^{-x}$ .
$f''(x)=(x-2)e^{-x}$ a le signe de $x-2$ . $f$ est concave sur $]-\infty\,;\,2]$ et convexe sur $[2\,;\,+\infty[$ .
$f''$ change de signe en $2$ : point d'inflexion $\left(2\,;\,2e^{-2}\right)$ .

$f'(2)=-e^{-2}$ et $T : y=-e^{-2}(x-2)+2e^{-2}=e^{-2}(4-x)$ .
Sur $]-\infty\,;\,2]$ , $f$ est concave : $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $T$ ; sur $[2\,;\,+\infty[$ , elle est convexe : $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $T$ .