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Niveau 2 — Convexité — 30 min

Une fonction polynôme de degré 3

On étudie la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^3-3x^2-12x$ . On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^3-3x^2-12x$ . Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
Calculer $f'(x)$ , étudier son signe et dresser le tableau de variations de $f$ .
Calculer $f''(x)$ .
Étudier le signe de $f''(x)$ et en déduire la convexité de $f$ .
Déterminer le point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ et l'équation de la tangente $T$ en ce point.
Étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et de $T$ .

Niveau 2 — Convexité — 30 min

Corrigé — Une fonction polynôme de degré 3

En $-\infty$ et $+\infty$ , $f$ a la limite de son terme dominant $2x^3$ : $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ .
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=6x^2-6x-12=6(x+1)(x-2)$ .

$f'(x)=6(x+1)(x-2)$ est positive à l'extérieur des racines $-1$ et $2$ , négative entre. $f(-1)=-2-3+12=7$ et $f(2)=16-12-24=-20$ .

$x$ $-\infty$ $-1$ $2$ $+\infty$
$f$ $-\infty$ $\nearrow$ $7$ $\searrow$ $-20$ $\nearrow$ $+\infty$
$f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f''(x)=12x-6=6(2x-1)$ .
$f''(x)=6(2x-1)$ est négative pour $x<\dfrac12$ et positive pour $x>\dfrac12$ . $f$ est concave sur $\left]-\infty\,;\,\dfrac12\right]$ et convexe sur $\left[\dfrac12\,;\,+\infty\right[$ .
$f''$ s'annule en changeant de signe en $\dfrac12$ : $\mathcal{C}_f$ admet un unique point d'inflexion, d'abscisse $\dfrac12$ . $f\left(\dfrac12\right)=\dfrac14-\dfrac34-6=-\dfrac{13}{2}$ .

$f'\left(\dfrac12\right)=\dfrac64-3-12=-\dfrac{27}{2}$ et $T : y=-\dfrac{27}{2}\left(x-\dfrac12\right)-\dfrac{13}{2}=-\dfrac{27}{2}x+\dfrac14$ .
Sur $\left]-\infty\,;\,\dfrac12\right]$ , $f$ est concave : $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $T$ . Sur $\left[\dfrac12\,;\,+\infty\right[$ , $f$ est convexe : $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $T$ . La courbe traverse sa tangente au point d'inflexion.