Niveau 2 — Continuité et théorème de la bijection — 20 min

Corrigé — Suite récurrente et continuité

1. $f$ est la composée de $x\mapsto x+2$ (continue, à valeurs positives sur $[-2\,;\,+\infty[$) et de $\sqrt{\ }$ (continue sur $[0\,;\,+\infty[$) : elle est continue. Pour $x>-2$, $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+2}}>0$ : $f$ est strictement croissante.

2. Initialisation. $u_0=0\in[0\,;\,2]$.

   Hérédité. Supposons $0\leq u_n\leq2$. Comme $f$ est croissante : $f(0)\leq f(u_n)\leq f(2)$, c'est-à-dire $\sqrt2\leq u_{n+1}\leq\sqrt4=2$. Donc $0\leq u_{n+1}\leq2$.

   Conclusion. Pour tout $n$, $0\leq u_n\leq2$.

3. Initialisation. $u_1=\sqrt2\geq0=u_0$.

   Hérédité. Si $u_n\leq u_{n+1}$, comme $f$ est croissante, $f(u_n)\leq f(u_{n+1})$ c'est-à-dire $u_{n+1}\leq u_{n+2}$.

   La suite est croissante.

4. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$ : elle converge vers un réel $\ell$ (théorème de la convergence monotone), avec $\ell\in[0\,;\,2]$.

5. $u_n\to\ell$ et $f$ est continue en $\ell$, donc $f(u_n)\to f(\ell)$. Or $u_{n+1}=f(u_n)\to\ell$. Par unicité de la limite, $f(\ell)=\ell$, soit $\sqrt{\ell+2}=\ell$.

   Comme $\ell\geq0$ : $\ell+2=\ell^2$, soit $\ell^2-\ell-2=0$, de racines $-1$ et $2$. Seule $\ell=2$ est positive : $\ell=2$.

   (Vérification : $u_3\approx1{,}9616$, $u_6\approx1{,}9994$.)