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Niveau 2 — Continuité et théorème de la bijection — 20 min

Prolongement par continuité

Dans cet exercice, les fonctions sont définies sur des intervalles de R\mathbb{R}.

  1. Soit ff la fonction définie sur R∖{3}\mathbb{R}\setminus\{3\} par f(x)=x2−9x−3f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}. Montrer que ff admet un prolongement par continuité en 33 et le définir.

  2. Soit ff la fonction définie sur R∖{2}\mathbb{R}\setminus\{2\} par f(x)=x3−8x−2f(x)=\dfrac{x^3-8}{x-2}. Montrer que ff admet un prolongement par continuité en 22 et le définir.

  3. Soit ff la fonction définie sur [0 ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[[0\,;\,1[\,\cup\,]1\,;\,+\infty[ par f(x)=x−1x−1f(x)=\dfrac{\sqrt{x}-1}{x-1}. Montrer que ff admet un prolongement par continuité en 11 et le définir.

  4. Soit ff la fonction définie sur R∗\mathbb{R}^* par f(x)=e2x−1xf(x)=\dfrac{e^{2x}-1}{x}. Montrer que ff admet un prolongement par continuité en 00 et le définir.

  5. Soit ff la fonction définie sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par f(x)=xln⁡xf(x)=x\ln x. Montrer que ff admet un prolongement par continuité en 00 et le définir.

Niveau 2 — Continuité et théorème de la bijection — 20 min

Corrigé — Prolongement par continuité

  1. Pour x≠3x\neq3, f(x)=(x−3)(x+3)x−3=x+3f(x)=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3, donc lim⁡x→3f(x)=6\lim\limits_{x\to3}f(x)=6.

    La limite est finie, égale à 66 : ff se prolonge par continuité en 33 en posant g(3)=6g(3)=6 (et g(x)=f(x)g(x)=f(x) ailleurs).

  2. Pour x≠2x\neq2, x3−8=(x−2)(x2+2x+4)x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4) donc f(x)=x2+2x+4f(x)=x^2+2x+4 et lim⁡x→2f(x)=4+4+4=12\lim\limits_{x\to2}f(x)=4+4+4=12.

    La limite est finie, égale à 1212 : ff se prolonge par continuité en 22 en posant g(2)=12g(2)=12 (et g(x)=f(x)g(x)=f(x) ailleurs).

  3. Pour x≠1x\neq1 : x−1=(x−1)(x+1)x-1=(\sqrt x-1)(\sqrt x+1), donc f(x)=1x+1f(x)=\dfrac{1}{\sqrt x+1} et lim⁡x→1f(x)=12\lim\limits_{x\to1}f(x)=\dfrac12.

    La limite est finie, égale à 12\dfrac12 : ff se prolonge par continuité en 11 en posant g(1)=12g(1)=\dfrac12 (et g(x)=f(x)g(x)=f(x) ailleurs).

  4. On écrit f(x)=2×e2x−12xf(x)=2\times\dfrac{e^{2x}-1}{2x}. Avec X=2x→0X=2x\to0, eX−1X→1\dfrac{e^X-1}{X}\to1 (nombre dérivé de exp⁡\exp en 00), donc lim⁡x→0f(x)=2\lim\limits_{x\to0}f(x)=2.

    La limite est finie, égale à 22 : ff se prolonge par continuité en 00 en posant g(0)=2g(0)=2 (et g(x)=f(x)g(x)=f(x) ailleurs).

  5. Par croissances comparées, lim⁡x→0+xln⁡x=0\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x=0.

    La limite est finie, égale à 00 : ff se prolonge par continuité en 00 en posant g(0)=0g(0)=0 (et g(x)=f(x)g(x)=f(x) ailleurs).