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Niveau 2 — Probabilités — 30 min

Les abonnés actifs

Une plateforme de streaming compte, au mois $0$ , $80\ \%$ d'abonnés actifs. Chaque mois, un abonné actif le reste avec la probabilité $0{,}85$ , et un abonné inactif redevient actif avec la probabilité $0{,}1$ . On choisit un abonné au hasard et on note $A_n$ l'événement « l'abonné est actif au mois $n$ » et $a_n = P(A_n)$ , avec $a_0 = 0{,}8$ .

Représenter par un arbre pondéré les mois $0$ et $1$ et calculer $a_1$ .
Calculer $a_2$ .
Un abonné est actif au mois $2$ . Quelle est la probabilité qu'il ait été actif au mois $1$ ? (arrondir à $10^{-3}$ )
Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , $a_{n+1} = 0{,}75\,a_n + 0{,}1$ .
On pose $v_n = a_n - 0{,}4$ . Montrer que $(v_n)$ est géométrique, exprimer $a_n$ en fonction de $n$ , puis déterminer la limite de $(a_n)$ et l'interpréter.

Niveau 2 — Probabilités — 30 min

Corrigé — Les abonnés actifs

$a_1 = 0{,}8 \times 0{,}85 + 0{,}2 \times 0{,}1 = 0{,}68 + 0{,}02 = 0{,}7$ .
$a_2 = a_1 \times 0{,}85 + (1 - a_1) \times 0{,}1 = 0{,}595 + 0{,}03 = 0{,}625$ .
$P(A_1 \cap A_2) = a_1 \times 0{,}85 = 0{,}595$ et $P(A_2) = 0{,}625$ .

$P_{A_2}(A_1) \approx 0{,}952$ .
$a_{n+1} = a_n \times 0{,}85 + (1 - a_n) \times 0{,}1 = 0{,}85\,a_n + 0{,}1 - 0{,}1\,a_n = 0{,}75\,a_n + 0{,}1$ .
$v_{n+1} = a_{n+1} - 0{,}4 = 0{,}75\,a_n + 0{,}1 - 0{,}4 = 0{,}75\,a_n - 0{,}3 = 0{,}75\,(a_n - 0{,}4) = 0{,}75\,v_n$ .

$(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}75$ et de premier terme $v_0 = 0{,}8 - 0{,}4 = 0{,}4$ . Donc $v_n = 0{,}4 \times 0{,}75^n$ et $a_n = 0{,}4 + 0{,}4 \times 0{,}75^n$ .

Comme $-1 < 0{,}75 < 1$ , $0{,}75^n \to 0$ donc $a_n \to 0{,}4$ . À long terme, la plateforme se stabilise à $40\ \%$ d'abonnés actifs.