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Niveau 2 — Probabilités — 30 min

L'abstention à une élection

Les électeurs d'une ville se répartissent en trois catégories : $25\ \%$ de jeunes, $50\ \%$ d'actifs et $25\ \%$ de seniors. À une élection, $40\ \%$ des jeunes, $25\ \%$ des actifs et $10\ \%$ des seniors se sont abstenus. On choisit un électeur inscrit au hasard. On note $J$ , $A$ et $S$ les événements « l'électeur est jeune », « actif » et « senior », et $B$ l'événement « l'électeur s'est abstenu ».

Représenter la situation par un arbre pondéré et calculer la probabilité qu'un électeur pris au hasard se soit abstenu.
Un électeur s'est abstenu. Quelle est la probabilité que ce soit un jeune ?
Un électeur a voté. Quelle est la probabilité que ce soit un senior ? (arrondir à $10^{-3}$ )
Les événements « être jeune » et « s'abstenir » sont-ils indépendants ? Justifier.
On interroge $12$ électeurs choisis au hasard (on assimile à des tirages indépendants). Quelle est la probabilité qu'exactement $3$ d'entre eux se soient abstenus ? (arrondir à $10^{-3}$ )

Niveau 2 — Probabilités — 30 min

Corrigé — L'abstention à une élection

$P(B) = 0{,}25 \times 0{,}4 + 0{,}5 \times 0{,}25 + 0{,}25 \times 0{,}1 = 0{,}1 + 0{,}125 + 0{,}025 = 0{,}25$ .
$P_B(J) = \dfrac{0{,}1}{0{,}25} = 0{,}4$ .

Ainsi $40\ \%$ des abstentionnistes sont des jeunes, alors qu'ils ne représentent que $25\ \%$ des électeurs.
$P(S \cap \overline{B}) = 0{,}25 \times 0{,}9 = 0{,}225$ et $P(\overline{B}) = 1 - 0{,}25 = 0{,}75$ .

$P_{\overline{B}}(S) = \dfrac{0{,}225}{0{,}75} = 0{,}3$ .
$P_J(B) = 0{,}4$ alors que $P(B) = 0{,}25$ . Ces valeurs sont différentes : les événements ne sont pas indépendants.
Le nombre $X$ d'abstentionnistes suit la loi binomiale $\mathcal{B}(12\,;\,0{,}25)$ .

$P(X=3) = \binom{12}{3} \times 0{,}25^3 \times 0{,}75^9 \approx 0{,}258$ .