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Niveau 2 — Probabilités — 30 min

Les deux détecteurs

Un local est équipé de deux détecteurs d'intrusion fonctionnant indépendamment l'un de l'autre. En cas d'intrusion, le détecteur $D_1$ se déclenche avec la probabilité $0{,}9$ et le détecteur $D_2$ avec la probabilité $0{,}8$ . Une intrusion a lieu. On note $D_1$ et $D_2$ les événements « le détecteur correspondant se déclenche ».

Calculer la probabilité que les deux détecteurs se déclenchent.
Calculer la probabilité qu'au moins un détecteur se déclenche.
Au moins un détecteur s'est déclenché. Quelle est la probabilité que ce soit $D_1$ ? (arrondir à $10^{-3}$ )
Calculer la probabilité qu'un seul des deux détecteurs se déclenche.
Cinq intrusions indépendantes ont lieu dans l'année. Quelle est la probabilité qu'elles soient toutes détectées par au moins un détecteur ? (arrondir à $10^{-3}$ )

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Corrigé — Les deux détecteurs

Les détecteurs sont indépendants : $P(D_1 \cap D_2) = 0{,}9 \times 0{,}8 = 0{,}72$ .
$P(D_1 \cup D_2) = 0{,}9 + 0{,}8 - 0{,}72 = 0{,}98$ .

Vérification : l'événement contraire « aucun détecteur ne se déclenche » a pour probabilité $0{,}1 \times 0{,}2 = 0{,}02$ , et $1 - 0{,}02 = 0{,}98$ .
$P_{D_1 \cup D_2}(D_1) = \dfrac{P(D_1)}{P(D_1 \cup D_2)} = \dfrac{0{,}9}{0{,}98} \approx 0{,}918$ .
« Un seul détecteur » = « au moins un » moins « les deux » : $0{,}98 - 0{,}72 = 0{,}26$ .

On peut aussi calculer $0{,}9 \times 0{,}2 + 0{,}1 \times 0{,}8 = 0{,}18 + 0{,}08 = 0{,}26$ .
Le nombre $X$ d'intrusions détectées suit la loi binomiale $\mathcal{B}(5\,;\,0{,}98)$ . La probabilité qu'elles soient toutes détectées est $P(X=5) = 0{,}98^{5} \approx 0{,}904$ .