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Niveau 2 — Probabilités — 30 min

Le filtre anti-spam

Une messagerie reçoit des courriers dont $30\ \%$ sont des spams. Un filtre classe comme « spam » $95\ \%$ des spams et, à tort, $2\ \%$ des courriers légitimes. On choisit un courrier au hasard. On note $S$ l'événement « le courrier est un spam » et $F$ l'événement « le filtre classe le courrier comme spam ».

Représenter la situation par un arbre pondéré.
Calculer la probabilité que le filtre classe le courrier comme spam.
Un courrier est classé comme spam. Quelle est la probabilité que ce soit réellement un spam ? (arrondir à $10^{-3}$ )
Un courrier n'est pas classé comme spam. Quelle est la probabilité que ce soit tout de même un spam ? (arrondir à $10^{-3}$ )
Un utilisateur reçoit $20$ courriers légitimes, indépendants les uns des autres. Quelle est la probabilité qu'au moins l'un d'eux soit classé à tort comme spam ? (arrondir à $10^{-3}$ )

Niveau 2 — Probabilités — 30 min

Corrigé — Le filtre anti-spam

Premier niveau : $S$ ( $0{,}3$ ) et $\overline{S}$ ( $0{,}7$ ). Second niveau : après $S$ , $F$ avec $0{,}95$ et $\overline{F}$ avec $0{,}05$ ; après $\overline{S}$ , $F$ avec $0{,}02$ et $\overline{F}$ avec $0{,}98$ .
$P(F) = 0{,}3 \times 0{,}95 + 0{,}7 \times 0{,}02 = 0{,}285 + 0{,}014 = 0{,}299$ .
$P_F(S) = \dfrac{0{,}285}{0{,}299} \approx 0{,}953$ .
$P(S \cap \overline{F}) = 0{,}3 \times 0{,}05 = 0{,}015$ et $P(\overline{F}) = 1 - 0{,}299 = 0{,}701$ .

$P_{\overline{F}}(S) = \dfrac{0{,}015}{0{,}701} \approx 0{,}021$ .
Chaque courrier légitime est classé à tort comme spam avec la probabilité $P_{\overline{S}}(F) = 0{,}02$ . Le nombre $X$ de courriers mal classés suit la loi binomiale $\mathcal{B}(20\,;\,0{,}02)$ .

$P(X \geq 1) = 1 - P(X=0) = 1 - 0{,}98^{20} \approx 0{,}332$ .