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Niveau 2 — Probabilités — 25 min

La pluie trois jours de suite

Dans une région, la probabilité qu'il pleuve le jour 1 est $0{,}5$ . Si un jour il pleut, il pleut le lendemain avec la probabilité $0{,}7$ ; si un jour il ne pleut pas, il pleut le lendemain avec la probabilité $0{,}2$ . On note $R_n$ l'événement « il pleut le jour $n$ ».

Représenter par un arbre pondéré les jours 1 et 2, puis calculer $P(R_2)$ .
En déduire $P(R_3)$ .
Il pleut le jour 3. Quelle est la probabilité qu'il ait plu le jour 2 ? (arrondir à $10^{-3}$ )
Calculer la probabilité qu'il pleuve les trois jours.
Calculer la probabilité qu'il pleuve au moins un des trois jours.

Niveau 2 — Probabilités — 25 min

Corrigé — La pluie trois jours de suite

$P(R_2) = P(R_1) \times P_{R_1}(R_2) + P(\overline{R_1}) \times P_{\overline{R_1}}(R_2) = 0{,}5 \times 0{,}7 + 0{,}5 \times 0{,}2 = 0{,}35 + 0{,}1 = 0{,}45$ .
$P(R_3) = P(R_2) \times 0{,}7 + P(\overline{R_2}) \times 0{,}2 = 0{,}45 \times 0{,}7 + 0{,}55 \times 0{,}2 = 0{,}315 + 0{,}11 = 0{,}425$ .
$P(R_2 \cap R_3) = P(R_2) \times 0{,}7 = 0{,}315$ et $P(R_3) = 0{,}425$ .

$P_{R_3}(R_2) = \dfrac{0{,}315}{0{,}425} \approx 0{,}741$ .
$P(R_1 \cap R_2 \cap R_3) = P(R_1) \times P_{R_1}(R_2) \times P_{R_1 \cap R_2}(R_3) = 0{,}5 \times 0{,}7 \times 0{,}7 = 0{,}245$ (la probabilité de pluie le lendemain ne dépend que du jour courant).
L'événement contraire est « pas de pluie les trois jours » : $P(\overline{R_1} \cap \overline{R_2} \cap \overline{R_3}) = 0{,}5 \times 0{,}8 \times 0{,}8 = 0{,}32$ .

Donc la probabilité cherchée est $1 - 0{,}32 = 0{,}68$ .