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Niveau 2 — Probabilités — 25 min

La proportion inconnue

Une entreprise possède deux ateliers $A$ et $B$ . L'atelier $A$ produit une proportion $x$ des pièces ( $0 < x < 1$ ) et l'atelier $B$ produit les autres. $3\ \%$ des pièces de l'atelier $A$ sont défectueuses, contre $8\ \%$ de celles de l'atelier $B$ . On prélève une pièce au hasard dans la production. On note $D$ l'événement « la pièce est défectueuse ».

Représenter la situation par un arbre pondéré (les probabilités du premier niveau dépendent de $x$ ).
Montrer que $P(D) = 0{,}08 - 0{,}05x$ .
On observe que $5\ \%$ des pièces de la production sont défectueuses. En déduire la valeur de $x$ .
Une pièce est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle provienne de l'atelier $A$ ?
Existe-t-il une valeur de $x$ pour laquelle les événements $A$ et $D$ sont indépendants ? Justifier.

Niveau 2 — Probabilités — 25 min

Corrigé — La proportion inconnue

Premier niveau : $A$ ( $x$ ) et $B$ ( $1-x$ ). Second niveau : après $A$ , $D$ avec $0{,}03$ et $\overline{D}$ avec $0{,}97$ ; après $B$ , $D$ avec $0{,}08$ et $\overline{D}$ avec $0{,}92$ .
$P(D) = x \times 0{,}03 + (1-x) \times 0{,}08 = 0{,}03x + 0{,}08 - 0{,}08x = 0{,}08 - 0{,}05x$ .
$0{,}08 - 0{,}05x = 0{,}05 \iff 0{,}05x = 0{,}03 \iff x = 0{,}6$ .

L'atelier $A$ produit donc $60\ \%$ des pièces.
$P(A \cap D) = 0{,}6 \times 0{,}03 = 0{,}018$ et $P(D) = 0{,}05$ .

$P_D(A) = \dfrac{0{,}018}{0{,}05} = 0{,}36$ .
Si $A$ et $D$ étaient indépendants, on aurait $P_A(D) = P(D)$ , donc la proportion de pièces défectueuses serait la même dans l'atelier $A$ que dans la production entière, et donc aussi dans l'atelier $B$ : $0{,}03 = 0{,}08$ , ce qui est faux.

Il n'existe donc aucune valeur de $x$ (avec $0 < x < 1$ ) rendant $A$ et $D$ indépendants.