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Niveau 2 — Probabilités — 25 min

Un test de dépistage

Une maladie touche 2 %2\ \% d'une population. Un test de dépistage est positif pour 95 %95\ \% des personnes malades et pour 10 %10\ \% des personnes non malades. On choisit une personne au hasard dans la population. On note MM l'événement « la personne est malade » et TT l'événement « le test est positif ».

  1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

  2. Calculer la probabilité que le test soit positif.

  3. Le test d'une personne est positif. Quelle est la probabilité qu'elle soit réellement malade ? (arrondir à 10−310^{-3})

  4. Le test d'une personne est négatif. Quelle est la probabilité qu'elle ne soit pas malade ? (arrondir à 10−310^{-3})

  5. Pourquoi la probabilité de la question 3 est-elle si faible alors que le test détecte 95 %95\ \% des malades ? Illustrer sur 100 000100\,000 personnes.

Niveau 2 — Probabilités — 25 min

Corrigé — Un test de dépistage

  1. Premier niveau : MM (0,020{,}02) et M‾\overline{M} (0,980{,}98). Second niveau : après MM, TT avec 0,950{,}95 et T‾\overline{T} avec 0,050{,}05 ; après M‾\overline{M}, TT avec 0,10{,}1 et T‾\overline{T} avec 0,90{,}9.

  2. P(T)=P(M∩T)+P(M‾∩T)=0,02×0,95+0,98×0,1=0,019+0,098=0,117P(T) = P(M \cap T) + P(\overline{M} \cap T) = 0{,}02 \times 0{,}95 + 0{,}98 \times 0{,}1 = 0{,}019 + 0{,}098 = 0{,}117.

  3. PT(M)=P(M∩T)P(T)=0,0190,117≈0,162P_T(M) = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}019}{0{,}117} \approx 0{,}162.

    Seulement environ 16,2 %16{,}2\ \% des personnes au test positif sont malades.

  4. P(M‾∩T‾)=0,98×0,9=0,882P(\overline{M} \cap \overline{T}) = 0{,}98 \times 0{,}9 = 0{,}882 et P(T‾)=1−0,117=0,883P(\overline{T}) = 1 - 0{,}117 = 0{,}883.

    PT‾(M‾)=0,8820,883≈0,999P_{\overline{T}}(\overline{M}) = \dfrac{0{,}882}{0{,}883} \approx 0{,}999.

  5. Sur 100 000100\,000 personnes, 2 0002\,000 sont malades et 98 00098\,000 ne le sont pas.

    Le test est positif pour 95 %95\ \% des 2 0002\,000 malades, soit 1 9001\,900 personnes, et pour 10 %10\ \% des 98 00098\,000 non malades, soit 9 8009\,800 personnes.

    Il y a donc 1 900+9 800=11 7001\,900 + 9\,800 = 11\,700 tests positifs dont seulement 1 9001\,900 concernent des malades, soit environ 16,2 %16{,}2\ \%. La maladie étant rare, les faux positifs, bien que proportionnellement peu fréquents (10 %10\ \%), sont beaucoup plus nombreux que les vrais positifs.