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Niveau 2 — Probabilités — 25 min

Les trois usines

Une entreprise fabrique le même modèle de pièce dans trois usines $A$ , $B$ et $C$ . L'usine $A$ produit $50\ \%$ des pièces, l'usine $B$ en produit $30\ \%$ et l'usine $C$ les $20\ \%$ restantes. Les pièces défectueuses représentent $2\ \%$ de la production de $A$ , $3\ \%$ de celle de $B$ et $6\ \%$ de celle de $C$ . On prélève une pièce au hasard et on note $D$ l'événement « la pièce est défectueuse ».

Représenter la situation par un arbre pondéré à trois branches au premier niveau.
Calculer la probabilité que la pièce soit défectueuse.
La pièce est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle vienne de l'usine $A$ ? (arrondir à $10^{-3}$ )
Calculer de même $P_D(B)$ et $P_D(C)$ . De quelle usine une pièce défectueuse provient-elle le plus probablement ? Que remarque-t-on sur la somme des trois probabilités conditionnelles ?
On prélève deux pièces de façon indépendante (la production est très grande). Calculer la probabilité d'obtenir au moins une pièce défectueuse (arrondir à $10^{-3}$ ).

Niveau 2 — Probabilités — 25 min

Corrigé — Les trois usines

Premier niveau : $A$ ( $0{,}5$ ), $B$ ( $0{,}3$ ), $C$ ( $0{,}2$ ). Second niveau : après $A$ , $D$ avec $0{,}02$ et $\overline{D}$ avec $0{,}98$ ; après $B$ , $D$ avec $0{,}03$ et $\overline{D}$ avec $0{,}97$ ; après $C$ , $D$ avec $0{,}06$ et $\overline{D}$ avec $0{,}94$ .
$P(D) = P(A \cap D) + P(B \cap D) + P(C \cap D) = 0{,}5 \times 0{,}02 + 0{,}3 \times 0{,}03 + 0{,}2 \times 0{,}06 = 0{,}01 + 0{,}009 + 0{,}012 = 0{,}031$ .
$P_D(A) = \dfrac{P(A \cap D)}{P(D)} = \dfrac{0{,}01}{0{,}031} \approx 0{,}323$ .
$P_D(B) = \dfrac{0{,}009}{0{,}031} \approx 0{,}290$ et $P_D(C) = \dfrac{0{,}012}{0{,}031} \approx 0{,}387$ .

La pièce défectueuse provient le plus probablement de l'usine C (probabilité $0{,}387$ ), alors que cette usine ne produit que $20\ \%$ des pièces : son taux de défaut est très supérieur à celui des autres.

La somme $P_D(A) + P_D(B) + P_D(C)$ vaut $1$ (à l'arrondi près) car $A$ , $B$ , $C$ forment une partition : sachant que la pièce est défectueuse, elle vient forcément de l'une des trois usines.
La probabilité qu'une pièce soit non défectueuse est $1 - 0{,}031 = 0{,}969$ . Les deux prélèvements étant indépendants, la probabilité qu'aucune ne soit défectueuse est $0{,}969^2$ .

Donc la probabilité d'obtenir au moins une pièce défectueuse est $1 - 0{,}969^2 \approx 0{,}061$ .