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Niveau 1 — Probabilités — 15 min

Réviser pour réussir

Dans une classe, $45\ \%$ des élèves révisent régulièrement. Parmi eux, $90\ \%$ réussissent le contrôle ; parmi ceux qui ne révisent pas régulièrement, $60\ \%$ le réussissent. On choisit un élève au hasard. On note $A$ l'événement « l'élève révise régulièrement » et $B$ l'événement « l'élève réussit le contrôle ».

Représenter la situation par un arbre pondéré. Donner en particulier $P(\overline{A})$ , $P_A(\overline{B})$ et $P_{\overline{A}}(\overline{B})$ .
Calculer $P(A \cap B)$ .
Calculer $P(B)$ .
Calculer $P_B(A)$ (arrondir à $10^{-3}$ si nécessaire) et interpréter ce résultat.
Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier.

Niveau 1 — Probabilités — 15 min

Corrigé — Réviser pour réussir

Premier niveau : $A$ avec la probabilité $0{,}45$ et $\overline{A}$ avec la probabilité $0{,}55$ .

Second niveau, après $A$ : $B$ avec $0{,}9$ et $\overline{B}$ avec $0{,}1$ ; après $\overline{A}$ : $B$ avec $0{,}6$ et $\overline{B}$ avec $0{,}4$ .

Ainsi $P(\overline{A}) = 1 - 0{,}45 = 0{,}55$ , $P_A(\overline{B}) = 1 - 0{,}9 = 0{,}1$ et $P_{\overline{A}}(\overline{B}) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$ .
$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = 0{,}45 \times 0{,}9 = 0{,}405$ .
D'après la formule des probabilités totales :

$P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) = 0{,}405 + 0{,}55 \times 0{,}6 = 0{,}405 + 0{,}33 = 0{,}735$ .
$P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}405}{0{,}735} \approx 0{,}551$ .

Parmi les élèves qui réussissent le contrôle, environ $55{,}1\ \%$ révisent régulièrement.
$P(A) \times P(B) = 0{,}45 \times 0{,}735 = 0{,}33075$ alors que $P(A \cap B) = 0{,}405$ .

Ces deux valeurs sont différentes : les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.