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Niveau 1 — Probabilités — 15 min

Le programme de fidélité

Dans un magasin, $30\ \%$ des clients possèdent la carte de fidélité. Parmi eux, $70\ \%$ achètent un produit en promotion ; parmi les clients sans carte, $40\ \%$ en achètent un. On interroge un client au hasard à la sortie. On note $A$ l'événement « le client possède la carte » et $B$ l'événement « le client a acheté un produit en promotion ».

Représenter la situation par un arbre pondéré. Donner en particulier $P(\overline{A})$ , $P_A(\overline{B})$ et $P_{\overline{A}}(\overline{B})$ .
Calculer $P(A \cap B)$ .
Calculer $P(B)$ .
Calculer $P_B(A)$ (arrondir à $10^{-3}$ si nécessaire) et interpréter ce résultat.
Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier.

Niveau 1 — Probabilités — 15 min

Corrigé — Le programme de fidélité

Premier niveau : $A$ avec la probabilité $0{,}3$ et $\overline{A}$ avec la probabilité $0{,}7$ .

Second niveau, après $A$ : $B$ avec $0{,}7$ et $\overline{B}$ avec $0{,}3$ ; après $\overline{A}$ : $B$ avec $0{,}4$ et $\overline{B}$ avec $0{,}6$ .

Ainsi $P(\overline{A}) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$ , $P_A(\overline{B}) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$ et $P_{\overline{A}}(\overline{B}) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$ .
$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = 0{,}3 \times 0{,}7 = 0{,}21$ .
D'après la formule des probabilités totales :

$P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) = 0{,}21 + 0{,}7 \times 0{,}4 = 0{,}21 + 0{,}28 = 0{,}49$ .
$P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}21}{0{,}49} \approx 0{,}429$ .

Parmi les clients qui ont acheté un produit en promotion, environ $42{,}9\ \%$ possèdent la carte de fidélité.
$P(A) \times P(B) = 0{,}3 \times 0{,}49 = 0{,}147$ alors que $P(A \cap B) = 0{,}21$ .

Ces deux valeurs sont différentes : les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.