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Niveau 2 — Fonctions composées — 20 min

Dériver des fonctions composées — série 5

Dans chaque question, calculer la dérivée de la fonction sur l'ensemble indiqué (précisé pour que le calcul soit rigoureux) ; certaines questions demandent aussi le signe de la dérivée.

  1. La fonction ff est définie et dérivable sur R\mathbb{R} par f(x)=x e2x+1f(x) = x\,e^{2x+1}. Calculer f′(x)f'(x) pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}.

  2. La fonction ff est définie et dérivable sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par f(x)=1+ln⁡xxf(x) = \dfrac{1+\ln x}{x}. Calculer f′(x)f'(x) pour tout x∈]0 ; +∞[x \in ]0\,;\,+\infty[.

  3. La fonction ff est définie et dérivable sur R∗\mathbb{R}^* par f(x)=e1/xf(x) = e^{1/x}. Calculer f′(x)f'(x) pour tout x∈R∗x \in \mathbb{R}^*.

  4. La fonction ff est définie et dérivable sur R\mathbb{R} par f(x)=1(x2+1)2f(x) = \dfrac{1}{(x^2+1)^2}. Calculer f′(x)f'(x) pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}.

  5. La fonction ff est définie et dérivable sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par f(x)=(ln⁡x)2−2ln⁡xf(x) = (\ln x)^2-2\ln x. Calculer f′(x)f'(x) pour x∈]0 ; +∞[x \in ]0\,;\,+\infty[.

  6. Étudier le signe de f′(x)f'(x).

Niveau 2 — Fonctions composées — 20 min

Corrigé — Dériver des fonctions composées — série 5

  1. Produit uvuv avec u(x)=xu(x)=x, v(x)=e2x+1v(x)=e^{2x+1}, v′(x)=2e2x+1v'(x)=2e^{2x+1} :

    f′(x)=e2x+1+2x e2x+1=(1+2x)e2x+1f'(x)=e^{2x+1}+2x\,e^{2x+1}=(1+2x)e^{2x+1}.

    Pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} : f′(x)=(1+2x) e2x+1f'(x) = (1+2x)\,e^{2x+1}.

  2. Quotient uv\dfrac uv avec u(x)=1+ln⁡xu(x)=1+\ln x, u′(x)=1xu'(x)=\dfrac1x, v(x)=xv(x)=x :

    f′(x)=1x×x−(1+ln⁡x)x2=−ln⁡xx2f'(x)=\dfrac{\frac1x\times x-(1+\ln x)}{x^2}=\dfrac{-\ln x}{x^2}.

    Pour tout x∈]0 ; +∞[x \in ]0\,;\,+\infty[ : f′(x)=−ln⁡xx2f'(x) = \dfrac{-\ln x}{x^2}.

  3. Forme eue^u avec u(x)=1xu(x)=\dfrac1x, u′(x)=−1x2u'(x)=-\dfrac1{x^2} : f′=u′euf'=u'e^u.

    Pour tout x∈R∗x \in \mathbb{R}^* : f′(x)=−e1/xx2f'(x) = -\dfrac{e^{1/x}}{x^2}.

  4. Forme 1v\dfrac1{v} avec v(x)=(x2+1)2v(x)=(x^2+1)^2, v′(x)=2×2x×(x2+1)=4x(x2+1)v'(x)=2\times2x\times(x^2+1)=4x(x^2+1) :

    f′(x)=−v′v2=−4x(x2+1)(x2+1)4=−4x(x2+1)3f'(x)=-\dfrac{v'}{v^2}=-\dfrac{4x(x^2+1)}{(x^2+1)^4}=\dfrac{-4x}{(x^2+1)^3}.

    Pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} : f′(x)=−4x(x2+1)3f'(x) = \dfrac{-4x}{(x^2+1)^3}.

  5. Forme u2u^2 avec u(x)=ln⁡xu(x)=\ln x : f′(x)=2×1x×ln⁡x−2x=2ln⁡x−2x=2(ln⁡x−1)xf'(x)=2\times\dfrac1x\times\ln x-\dfrac2x=\dfrac{2\ln x-2}{x}=\dfrac{2(\ln x-1)}{x}.

    Pour tout x∈]0 ; +∞[x \in ]0\,;\,+\infty[ : f′(x)=2(ln⁡x−1)xf'(x) = \dfrac{2(\ln x-1)}{x}.

  6. Signe : x>0x>0 donc f′(x)f'(x) a le signe de ln⁡x−1\ln x-1, et ln⁡x−1>0  ⟺  x>e\ln x-1>0\iff x>e. Ainsi f′<0f'<0 sur ]0 ; e[]0\,;\,e[ et f′>0f'>0 sur ]e ; +∞[]e\,;\,+\infty[.