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Niveau 2 — Probabilités — 30 min

Le jeu de la kermesse

À une kermesse, un jeu coûte $4$ €. Le joueur lance $6$ anneaux. Chaque anneau atteint la cible avec la probabilité $0{,}3$ , indépendamment des autres. Le joueur reçoit $2$ € pour chaque anneau qui atteint la cible. On note $X$ le nombre d'anneaux qui atteignent la cible et $G$ le gain net du joueur (gain moins la mise).

Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Calculer la probabilité de n'atteindre la cible avec aucun anneau, puis celle d'atteindre la cible avec au moins $3$ anneaux (arrondir à $10^{-3}$ ).
Calculer l'espérance de $X$ .
Exprimer $G$ en fonction de $X$ . En déduire l'espérance de $G$ et dire si le jeu est favorable au joueur.
L'organisateur souhaite rendre le jeu équitable en modifiant la mise $m$ . Quelle valeur de $m$ choisir ?

Niveau 2 — Probabilités — 30 min

Corrigé — Le jeu de la kermesse

On répète $6$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues (l'anneau atteint la cible avec la probabilité $0{,}3$ ). Donc $X \sim \mathcal{B}(6\,;\,0{,}3)$ .
$P(X=0) = 0{,}7^{6} \approx 0{,}118$ .

$P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) \approx 0{,}256$ .
$E(X) = 6 \times 0{,}3 = 1{,}8$ : en moyenne, le joueur atteint la cible avec $1{,}8$ anneau.
$G = 2X - 4$ donc $E(G) = 2E(X) - 4 = 2 \times 1{,}8 - 4 = -0{,}4$ .

En moyenne, le joueur perd $0{,}40$ € par partie : le jeu est défavorable au joueur.
Le gain net est $G = 2X - m$ . Le jeu est équitable si $E(G) = 0$ , c'est-à-dire $2 \times 1{,}8 - m = 0$ , soit $m = 3{,}6$ .

Il faut fixer la mise à 3,60 €.