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Niveau 2 — Probabilités — 30 min

Le surbooking d'une compagnie aérienne

Un avion dispose de $50$ places. Pour limiter les sièges vides, la compagnie vend $52$ billets. On suppose que chaque passager ayant un billet se présente à l'embarquement avec la probabilité $0{,}92$ , indépendamment des autres. On note $X$ le nombre de passagers qui se présentent.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Calculer $P(X=52)$ et $P(X=51)$ (arrondir à $10^{-3}$ ).
Un passager est refusé à l'embarquement lorsque plus de $50$ passagers se présentent. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins un refus d'embarquement.
Calculer l'espérance et l'écart-type de $X$ . Interpréter l'espérance.
La compagnie envisage de vendre $54$ billets. Elle souhaite que la probabilité d'un refus d'embarquement reste inférieure à $10\ \%$ . Cette politique est-elle acceptable ?

Niveau 2 — Probabilités — 30 min

Corrigé — Le surbooking d'une compagnie aérienne

On répète $52$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues (le passager se présente avec la probabilité $0{,}92$ ). Donc $X \sim \mathcal{B}(52\,;\,0{,}92)$ .
$P(X=52) = 0{,}92^{52} \approx 0{,}013$ et $P(X=51) = \binom{52}{51} \times 0{,}92^{51} \times 0{,}08 \approx 0{,}059$ .
Il y a au moins un refus si $X \geq 51$ : $P(X \geq 51) = P(X=51) + P(X=52) \approx 0{,}059 + 0{,}013 = 0{,}072$ .

La probabilité d'un refus d'embarquement est d'environ $7{,}2\ \%$ .
$E(X) = 52 \times 0{,}92 = 47{,}84$ et $\sigma(X) = \sqrt{52 \times 0{,}92 \times 0{,}08} \approx 1{,}956$ .

En moyenne, $47{,}84$ passagers se présentent : il reste en moyenne plus de $2$ sièges vides.
Avec $54$ billets, le nombre de passagers présents $Y$ suit $\mathcal{B}(54\,;\,0{,}92)$ . Il y a refus si $Y \geq 51$ .

$P(Y \geq 51) = 1 - P(Y \leq 50) \approx 0{,}364$ .

Cette probabilité est donc supérieure à $10\ \%$ : cette politique de surbooking n'est pas acceptable.