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Niveau 2 — Probabilités — 25 min

Deux machines, une production

Dans une usine, la machine M1M_1 fabrique 60 %60\ \% des pièces et la machine M2M_2 les 40 %40\ \% restantes. 2 %2\ \% des pièces fabriquées par M1M_1 sont défectueuses, contre 5 %5\ \% pour M2M_2. On prélève une pièce au hasard dans la production. On considère ensuite des prélèvements successifs, que l'on assimile à des épreuves indépendantes car la production est très grande.

  1. Montrer que la probabilité de l'événement « la pièce est défectueuse » lors d'une épreuve est égale à 0,0320{,}032.

  2. On répète 1010 fois cette épreuve de façon indépendante. On note XX le nombre de fois où « la pièce est défectueuse » se produit. Justifier que XX suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

  3. Calculer P(X=1)P(X=1) (arrondir à 10−310^{-3}).

  4. Calculer la probabilité que « la pièce est défectueuse » se produise au moins 2 fois (arrondir à 10−310^{-3}).

  5. Combien d'épreuves faut-il répéter, au minimum, pour que la probabilité de l'événement « obtenir au moins une pièce défectueuse » soit supérieure ou égale à 0,50{,}5 ?

Niveau 2 — Probabilités — 25 min

Corrigé — Deux machines, une production

  1. On note E1E_1 : « la pièce vient de M1 » et SS : « la pièce est défectueuse ». Les événements E1E_1 et E1‾\overline{E_1} (« la pièce vient de M2 ») forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

    P(S)=P(E1) PE1(S)+P(E1‾) PE1‾(S)=0,6×0,02+0,4×0,05=0,032P(S) = P(E_1)\,P_{E_1}(S) + P(\overline{E_1})\,P_{\overline{E_1}}(S) = 0{,}6 \times 0{,}02 + 0{,}4 \times 0{,}05 = 0{,}032.

  2. On répète 1010 fois, de manière identique et indépendante, une épreuve à deux issues (succès : « la pièce est défectueuse », de probabilité 0,0320{,}032 d'après la question 1). Donc X∼B(10 ; 0,032)X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}032).

  3. P(X=1)=(101)×0,0321×0,9689≈0,239P(X=1) = \binom{10}{1} \times 0{,}032^{1} \times 0{,}968^{9} \approx 0{,}239.

  4. P(X≥2)=1−P(X≤1)=1−∑j=01P(X=j)≈0,039P(X \geq 2) = 1 - P(X \leq 1) = 1 - \displaystyle\sum_{j=0}^{1} P(X=j) \approx 0{,}039.

  5. 1−0,968N≥0,5  ⟺  0,968N≤0,51 - 0{,}968^{N} \geq 0{,}5 \iff 0{,}968^{N} \leq 0{,}5.

    On calcule : 0,96821≈0,5051>0,50{,}968^{21} \approx 0{,}5051 > 0{,}5 et 0,96822≈0,4889≤0,50{,}968^{22} \approx 0{,}4889 \leq 0{,}5.

    Il faut donc au minimum 22 épreuves.