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Niveau 2 — Probabilités — 25 min

Deux urnes et un dé

On dispose de deux urnes. L'urne U1U_1 contient 33 boules rouges et 77 boules noires ; l'urne U2U_2 contient 66 boules rouges et 44 boules noires. On lance un dé équilibré à six faces : si on obtient 11 ou 22, on tire une boule dans U1U_1 ; sinon, on tire une boule dans U2U_2. Une épreuve consiste à lancer le dé puis à tirer une boule, qui est ensuite remise dans son urne.

  1. Montrer que la probabilité de l'événement « on tire une boule rouge » lors d'une épreuve est égale à 0,50{,}5.

  2. On répète 55 fois cette épreuve de façon indépendante. On note XX le nombre de fois où « on tire une boule rouge » se produit. Justifier que XX suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

  3. Calculer P(X=1)P(X=1) (arrondir à 10−310^{-3}).

  4. Calculer la probabilité que « on tire une boule rouge » se produise au moins 3 fois (arrondir à 10−310^{-3}).

  5. Combien d'épreuves faut-il répéter, au minimum, pour que la probabilité de l'événement « obtenir au moins une boule rouge » soit supérieure ou égale à 0,990{,}99 ?

Niveau 2 — Probabilités — 25 min

Corrigé — Deux urnes et un dé

  1. On note E1E_1 : « le dé donne 1 ou 2 » et SS : « on tire une boule rouge ». Les événements E1E_1 et E1‾\overline{E_1} (« le dé donne 3, 4, 5 ou 6 ») forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

    P(S)=P(E1) PE1(S)+P(E1‾) PE1‾(S)=13×0,3+23×0,6=0,5P(S) = P(E_1)\,P_{E_1}(S) + P(\overline{E_1})\,P_{\overline{E_1}}(S) = \dfrac{1}{3} \times 0{,}3 + \dfrac{2}{3} \times 0{,}6 = 0{,}5.

  2. On répète 55 fois, de manière identique et indépendante, une épreuve à deux issues (succès : « on tire une boule rouge », de probabilité 0,50{,}5 d'après la question 1). Donc X∼B(5 ; 0,5)X \sim \mathcal{B}(5\,;\,0{,}5).

  3. P(X=1)=(51)×0,51×0,54≈0,156P(X=1) = \binom{5}{1} \times 0{,}5^{1} \times 0{,}5^{4} \approx 0{,}156.

  4. P(X≥3)=1−P(X≤2)=1−∑j=02P(X=j)≈0,500P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - \displaystyle\sum_{j=0}^{2} P(X=j) \approx 0{,}500.

  5. 1−0,5N≥0,99  ⟺  0,5N≤0,011 - 0{,}5^{N} \geq 0{,}99 \iff 0{,}5^{N} \leq 0{,}01.

    On calcule : 0,56≈0,0156>0,010{,}5^{6} \approx 0{,}0156 > 0{,}01 et 0,57≈0,0078≤0,010{,}5^{7} \approx 0{,}0078 \leq 0{,}01.

    Il faut donc au minimum 7 épreuves.