Pour que le moteur comptabilise tes réponses, il faudra les entrer ici quand tu auras fini.

Le PDF s'ouvre dans un nouvel onglet : tu peux l'enregistrer sur ton ordinateur ou l'imprimer.

Type bac — Fonction logarithme · Suites — 40 min — 5 points

Une fonction logarithme et une suite récurrente

Soit $f$ la fonction définie sur $]0\ ;\ +\infty[$ par $f(x) = x - \ln(x)$ . On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = f(u_n)$ .

Calculer $f'(x)$ pour $x > 0$ .
(0,5 pt)
En déduire les variations de $f$ et son minimum sur $]0\ ;\ +\infty[$ .
(0,5 pt)
Démontrer que, pour tout $x > 0$ , $f(x) \geq 1$ .
(1 pt)
Calculer $u_1$ (valeur arrondie au centième).
(0,5 pt)
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , $u_n \geq 1$ .
(1 pt)
Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ .
(0,5 pt)
En déduire que $(u_n)$ converge, puis déterminer sa limite $\ell$ (on admet que $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$ ).
(1 pt)

Type bac — Fonction logarithme · Suites — 40 min — 5 points

Corrigé — Une fonction logarithme et une suite récurrente

$f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x - 1}{x}$ .
Comme $x > 0$ , $f'(x)$ a le signe de $x - 1$ : négatif sur $]0\ ;\ 1[$ , positif sur $]1\ ;\ +\infty[$ . Donc $f$ décroît puis croît, et son minimum est $f(1) = 1 - \ln(1) = 1$ .
D'après la question précédente, $f$ admet sur $]0\ ;\ +\infty[$ un minimum égal à $f(1) = 1$ . Donc, pour tout $x > 0$ , $f(x) \geq 1$ .
$u_1 = f(u_0) = 2 - \ln(2) \approx 1{,}31$ .
Initialisation : $u_0 = 2 \geq 1$ . Hérédité : supposons $u_n \geq 1$ pour un entier $n$ . Alors $u_n > 0$ , donc $u_{n+1} = f(u_n)$ est bien défini et, d'après la question 3, $u_{n+1} = f(u_n) \geq 1$ . Conclusion : pour tout entier naturel $n$ , $u_n \geq 1$ .
$u_{n+1} - u_n = u_n - \ln(u_n) - u_n = -\ln(u_n)$ . Comme $u_n \geq 1$ , $\ln(u_n) \geq 0$ , donc $u_{n+1} - u_n \leq 0$ : la suite est décroissante.
$(u_n)$ est décroissante et minorée par $1$ : elle converge vers une limite $\ell \geq 1$ . De $f(\ell) = \ell$ , on tire $\ell - \ln(\ell) = \ell$ , soit $\ln(\ell) = 0$ , donc $\ell = 1$ .