Mon cahier › Suites

Fiche de synthèse — Les suites

1. Suites arithmétiques et géométriques

Suite arithmétique

Une suite est arithmétique de raison rr si :

un+1=un+ru_{n+1}=u_n+r

Son terme général est :

un=u0+nru_n=u_0+nr

ou, si le premier terme est u1u_1 :

un=u1+(n−1)ru_n=u_1+(n-1)r

La somme de NN termes consécutifs est :

S=N×premier terme+dernier terme2S=N\times\frac{\text{premier terme}+\text{dernier terme}}{2}

Suite géométrique

Une suite est géométrique de raison qq si :

un+1=qunu_{n+1}=q u_n

Son terme général est :

un=u0×qnu_n=u_0\times{q^n}

ou, si le premier terme est u1u_1 :

un=u1×qn−1u_n=u_1\times{q^{n-1}}

Pour q≠1q\neq 1, la somme de NN termes consécutifs est :

S=premier terme×1−qN1−qS=\text{premier terme}\times\frac{1-q^{N}}{1-q}

2. Sens de variation

Pour étudier le sens de variation d'une suite, on peut étudier le signe de :

un+1−unu_{n+1}-u_n
  • Si un+1−un≥0u_{n+1}-u_n\geq 0, la suite est croissante.
  • Si un+1−un≤0u_{n+1}-u_n\leq 0, la suite est décroissante.
  • Si un+1−un=0u_{n+1}-u_n=0 pour tout nn, la suite est constante.

Pour une suite géométrique à termes strictement positifs, on peut aussi comparer le quotient :

un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n}
  • Si ce quotient est supérieur ou égal à 11, la suite est croissante.
  • S'il est inférieur ou égal à 11, la suite est décroissante.

Attention : le signe doit être établi pour tous les rangs concernés.

3. Majorants, minorants et convergence

  • Suite majorée : la suite ne dépassera jamais un nombre réel qu'on va appeler ici MM tel que, pour tout nn, un≤Mu_n\leq M.

  • Suite minorée : la suite ne sera jamais inférieure à un nombre réel qu'on va appeler ici mm tel que, pour tout nn, un≥mu_n\geq m.

  • Suite bornée : elle est à la fois majorée et minorée.

Théorème de convergence monotone

  • Toute suite croissante et majorée converge.
  • Toute suite décroissante et minorée converge.

Une suite croissante non majorée tend vers +∞+\infty.

Une suite décroissante non minorée tend vers −∞-\infty.

Attention : une suite bornée n'est pas nécessairement convergente.

4. Limites usuelles

Suites géométriques

Pour une suite de la forme qnq^n :

  • Si ∣q∣<1|q|<1, alors lim⁡n→+∞qn=0\displaystyle\lim_{n\to+\infty}q^n=0.
  • Si q>1q>1, alors lim⁡n→+∞qn=+∞\displaystyle\lim_{n\to+\infty}q^n=+\infty.
  • Si q=1q=1, alors lim⁡n→+∞qn=1\displaystyle\lim_{n\to+\infty}q^n=1.
  • Si q≤−1q\leq -1, la suite (qn)(q^n) n'a pas de limite.

Autres limites de référence

Pour tout réel p>0p>0 :

lim⁡n→+∞np=+∞\lim_{n\to+\infty}n^p=+\infty lim⁡n→+∞1n=0\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0

Pour tout réel a>1a>1 :

lim⁡n→+∞an=+∞\lim_{n\to+\infty}a^n=+\infty

5. Théorèmes de comparaison et d'encadrement

Théorèmes de comparaison

Si, à partir d'un certain rang, un≤vnu_n\leq v_n :

  • Si un→+∞u_n\to+\infty, alors vn→+∞v_n\to+\infty.
  • Si vn→−∞v_n\to-\infty, alors un→−∞u_n\to-\infty.

Théorème des gendarmes

Si, à partir d'un certain rang :

un≤vn≤wnu_n\leq v_n\leq w_n

et si :

lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞wn=ℓ\lim_{n\to+\infty}u_n = \lim_{n\to+\infty}w_n =\ell

alors :

lim⁡n→+∞vn=ℓ\lim_{n\to+\infty}v_n=\ell

6. Démonstration par récurrence

Pour démontrer une propriété P(n)P(n) pour tout entier n≥n0n\geq n_0 :

  1. Initialisation : vérifier que P(n0)P(n_0) est vraie.
  2. Hérédité : supposer P(n)P(n) vraie et démontrer que P(n+1)P(n+1) est vraie.
  3. Conclusion : affirmer que P(n)P(n) est vraie pour tout entier n≥n0n\geq n_0.

Attention : l'hypothèse de récurrence doit être explicitement utilisée dans l'étape d'hérédité.

7. Réflexes essentiels

  • Étudier les variations : comparer un+1u_{n+1} et unu_n.
  • Démontrer une propriété à tout rang : penser à la récurrence.
  • Montrer qu'une suite converge : rechercher une monotonie et une borne adaptée.
  • Déterminer une limite : reconnaître une limite usuelle ou identifier le théorème approprié.
  • Utiliser un théorème : vérifier toutes ses hypothèses avant de conclure.
  • Suite définie par récurrence : ne pas confondre relation de récurrence et expression explicite.

À retenir : connaître un résultat ne suffit pas. Il faut aussi savoir quand l'utiliser et quelles conclusions il permet de tirer.