Rappels de Première : les suites

Cette fiche reprend l'essentiel sur les suites arithmétiques et géométriques. Prendre le temps de lire chaque exemple : ils servent à retrouver les réflexes avant d'attaquer le chapitre.

1. Suites arithmétiques

Relation entre deux termes consécutifs

Pour tout entier naturel $n$, passer d'un terme au suivant revient à ajouter la raison :

$u_{n+1} = u_n + r$

Exemple : si $u_n$ a pour raison $r = 3$ et $u_4 = 10$, alors $u_5 = 10 + 3 = 13$.

Sens de variation

Comme $u_{n+1} - u_n = r$, le signe de la raison donne directement le sens de variation :

• si $r > 0$, la suite est croissante ;
• si $r < 0$, la suite est décroissante ;
• si $r = 0$, la suite est constante.

Exemple : $12\ ;\ 9\ ;\ 6\ ;\ 3$ a pour raison $-3$. Comme $-3 < 0$, la suite est décroissante.

En effet cela paraît assez logique : si on ajoute toujours un nombre négatif alors cela revient à toujours soutraire donc la suite est décroissante. À l'inverse, si on additionne toujours un nombre positif alors la suite est croissante.

Somme des termes d'une suite arithmétique

Comment calculer $1 + 2 + 3 + 4$ sans tout additionner dans l'ordre ? Une astuce : associer le premier terme avec le dernier, puis le deuxième avec l'avant-dernier.

• $1 + 4 = 5$
• $2 + 3 = 5$

On obtient 2 paires qui valent chacune 5. La somme vaut donc $2 \times 5 = 10$.

Cela fonctionne pour toute suite arithmétique : comme on ajoute toujours le même nombre, chaque paire donne la même somme. Il suffit alors de compter les paires, soit la moitié du nombre de termes :

$S = \frac{\text{nombre de termes}}{2} \times (\text{premier terme} + \text{dernier terme})$

Pour compter les termes de $u_p$ à $u_n$ :

$\text{nombre de termes} = n - p + 1$

Exemple : calculer $2 + 4 + 6 + 8 + 10$.

Il y a 5 termes, le premier vaut 2 et le dernier vaut 10 :

$S = \frac{5}{2} \times (2 + 10) = \frac{5}{2} \times 12 = 30$

Remarque : il existe une autre technique pour additionner des entiers consécutifs. Pour une somme qui commence à 1 et avance de 1 en 1, $1 + 2 + 3 + \dots + n$, calculer le nombre de termes fois le nombre qui suit le dernier terme, le tout divisé par 2 :

$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n \times (n + 1)}{2}$

Pour $1 + 2 + 3 + 4$ : $\frac{4 \times 5}{2} = 10$. On retrouve bien le même résultat.

Attention : Cette technique ne marche que pour les sommes de termes consécutifs.

2. Suites géométriques

Relation entre un terme et le suivant

Pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n+1} = q \times u_n$

Exemple : si $q = 3$ et $u_2 = 4$, alors $u_3 = 3 \times 4 = 12$.

Sens de variation

Le sens de variation dépend de la raison $q$ et du signe du premier terme. Commencer par le cas où le premier terme est positif :

• si $q > 1$, la suite est croissante (chaque terme est agrandi) ;
• si $0 < q < 1$, la suite est décroissante (chaque terme est rétréci) ;
• si $q = 1$, la suite est constante.

Remarque : il n'est pas intuitif de se dire que la suite géométrique est décroissante quand la raison est entre 0 et 1 alors que c'est positif. Pour rappel, multiplier par un nombre strictement positif et strictement inférieur à 1 revient à diviser.

Exemple : 0.5 x 4 = 2

Donc lorsque sa raison est strictement entre 0 et 1, la suite géométrique est décroissante.

Si le premier terme est négatif, les variations s'inversent : avec $q > 1$, la suite est décroissante ; avec $0 < q < 1$, elle est croissante.

Si $q < 0$, les termes changent de signe à chaque étape : la suite n'est ni croissante ni décroissante.

Exemple : $1\ ;\ -2\ ;\ 4\ ;\ -8$ a pour raison $q = -2$. Les signes alternent : la suite n'est pas monotone.

Somme des termes

Pour additionner des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q \neq 1$ :

$S = \text{premier terme} \times \frac{1 - q^{\,\text{nombre de termes}}}{1 - q}$

Exemple : calculer $3 + 6 + 12 + 24 + 48$.

Il y a 5 termes, le premier vaut 3 et la raison vaut 2 :

$S = 3 \times \frac{1 - 2^5}{1 - 2} = 3 \times \frac{-31}{-1} = 3 \times 31 = 93$

Si $q = 1$, tous les termes sont égaux : la somme vaut simplement $\text{nombre de termes} \times \text{premier terme}$.

3. Erreurs fréquentes