Monotonie et suites bornées

1. Monotonie d'une suite

Définition monotonie

Étudier la monotonie d'une suite, c'est étudier ses variations : les termes augmentent-ils, diminuent-ils, ou ni l'un ni l'autre ?

Pour cela, on compare chaque terme $u_n$ avec le suivant $u_{n+1}$ . Cette comparaison doit être vraie pour tout entier naturel $n$ , et pas seulement pour les premiers termes.

Méthode générale : étudier le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ .

Suite croissante

Une suite $(u_n)$ est croissante si, pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n+1} \geq u_n$

Elle est strictement croissante si, pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n+1} > u_n$

Une suite constante est croissante (les termes ne diminuent jamais), mais pas strictement croissante.

Exemple : $u_n = n^2 + 1$ .

$u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 + 1 - (n^2 + 1) = 2n + 1$

Comme $2n + 1 > 0$ pour tout $n \geq 0$ , la suite est strictement croissante.

Suite décroissante

Une suite $(u_n)$ est décroissante si, pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n+1} \leq u_n$

Elle est strictement décroissante si, pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n+1} < u_n$

Exemple : $u_n = 10 - n^2$ .

$u_{n+1} - u_n = 10 - (n+1)^2 - (10 - n^2) = -(2n + 1)$

Comme $-(2n+1) < 0$ pour tout $n \geq 0$ , la suite est strictement décroissante.

Suite monotone

Une suite est monotone lorsqu'elle est croissante, ou lorsqu'elle est décroissante. Dans les deux cas, elle va toujours dans le même sens.

Une suite qui monte parfois et descend parfois n'est pas monotone.

Exemple : $u_n = (-1)^n$ donne $1\ ;\ -1\ ;\ 1\ ;\ -1\ ;\ \dots$ Elle alterne : elle n'est ni croissante, ni décroissante, donc pas monotone.

2. Suites bornées

Suite majorée

Une suite $(u_n)$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que, pour tout entier naturel $n$ :

$u_n \leq M$

Autrement dit, $M$ est un plafond : aucun terme ne passe au-dessus. Le nombre $M$ s'appelle un majorant. Il n'est pas unique : si 2 est un majorant, 3 en est un aussi.

Exemple : $u_n = 2 - \dfrac{1}{n+1}$ est majorée par 2.

Suite minorée

Une suite $(u_n)$ est minorée s'il existe un réel $m$ tel que, pour tout entier naturel $n$ :

$u_n \geq m$

Autrement dit, $m$ est un plancher : aucun terme ne descend en dessous. Le nombre $m$ s'appelle un minorant.

Exemple : $u_n = n^2$ est minorée par 0.

Suite bornée

Une suite est bornée lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée : tous ses termes restent entre un plancher et un plafond.

$m \leq u_n \leq M$

Exemple : $u_n = (-1)^n$ ne prend que les valeurs $-1$ et $1$ . Elle est minorée par $-1$ et majorée par $1$ , donc bornée.

Méthodes pour démontrer majorée/minorée

Méthode 1 : encadrer à partir de la formule.

Quand la suite est donnée par une formule, partir de ce que l'on sait sur $n$ et construire l'encadrement de $u_n$ pas à pas.

Exemple : montrer que $u_n = 2 - \dfrac{1}{n+1}$ est bornée.

Pour tout entier naturel $n$ , on a $n + 1 \geq 1$ , donc :

$0 < \frac{1}{n+1} \leq 1$

En multipliant par $-1$ , l'ordre s'inverse :

$-1 \leq -\frac{1}{n+1} < 0$

En ajoutant 2 :

$1 \leq u_n < 2$

La suite est minorée par 1 et majorée par 2 : elle est bornée.

Méthode 2 : raisonner par récurrence.

Quand la suite est définie par une relation de la forme $u_{n+1} = f(u_n)$ , procéder en trois étapes :

Initialisation : vérifier l'inégalité pour le premier terme.
Hérédité : supposer l'inégalité vraie pour $u_n$ , puis en déduire qu'elle est vraie pour $u_{n+1}$ .
Conclusion : l'inégalité est vraie pour tout $n$ .

Exemple : $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n + 3}{2}$ . Montrer que $u_n \leq 3$ pour tout $n$ .

Initialisation : $u_0 = 0 \leq 3$ .
Hérédité : supposer $u_n \leq 3$ . Alors $u_n + 3 \leq 6$ , donc $\dfrac{u_n + 3}{2} \leq 3$ , c'est-à-dire $u_{n+1} \leq 3$ .
Conclusion : $u_n \leq 3$ pour tout entier naturel $n$ . La suite est majorée par 3.

3. Lien entre monotonie et bornes

Une suite croissante et majorée

Imagine une suite dont les termes ne font que monter, mais qui ne peut jamais dépasser un plafond $M$ . Elle ne peut donc pas « partir vers l'infini » : ses termes montent de plus en plus lentement et se rapprochent d'une valeur. La fiche suivante donnera un nom à ce comportement : la convergence.

Exemple : $u_n = 2 - \dfrac{1}{n+1}$ donne $1\ ;\ 1{,}5\ ;\ 1{,}67\ ;\ 1{,}75\ ;\ \dots$ Elle est croissante et majorée par 2 : ses termes se rapprochent de 2.

La valeur dont la suite se rapproche n'est pas forcément le majorant $M$ choisi : la suite précédente est aussi majorée par 5, mais elle se rapproche de 2.

Remarque utile : une suite croissante est toujours minorée par son premier terme $u_0$ . Pour une suite croissante, seule la majoration reste à démontrer.

Une suite décroissante et minorée

Même idée dans l'autre sens : une suite dont les termes ne font que descendre, sans jamais passer sous un plancher $m$ , se rapproche elle aussi d'une valeur.

Exemple : $u_n = \dfrac{1}{n+1}$ donne $1\ ;\ 0{,}5\ ;\ 0{,}33\ ;\ 0{,}25\ ;\ \dots$ Elle est décroissante et minorée par 0 : ses termes se rapprochent de 0.

De même, une suite décroissante est toujours majorée par son premier terme $u_0$ .

Pourquoi ces conditions sont importantes

Les deux conditions sont nécessaires : si l'une manque, la conclusion tombe.

Croissante, mais pas majorée : $u_n = n$ donne $0\ ;\ 1\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ \dots$ Rien ne l'arrête, elle ne se rapproche d'aucun nombre.
Majorée, mais pas monotone : $u_n = (-1)^n$ est majorée par 1, mais elle alterne entre $1$ et $-1$ et ne se rapproche d'aucun nombre.

Le même raisonnement vaut pour les suites décroissantes : $u_n = -n$ est décroissante mais pas minorée, et elle n'a pas de valeur vers laquelle se rapprocher.

4. Erreurs fréquentes

Confondre croissante et strictement croissante

Dans une suite croissante, deux termes consécutifs peuvent être égaux ( $u_{n+1} = u_n$ ). Dans une suite strictement croissante, chaque terme est strictement plus grand que le précédent.

La suite constante $4\ ;\ 4\ ;\ 4\ ;\ \dots$ est croissante, mais pas strictement croissante.

Montrer seulement que $u_{n+1} \geq u_n$ pour quelques valeurs et conclure pour toute la suite

Calculer les premiers termes ne prouve rien : la suite peut changer de comportement plus loin.

Avec $u_n = n(5 - n)$ , les premiers termes sont $u_0 = 0$ , $u_1 = 4$ , $u_2 = 6$ , $u_3 = 6$ : on pourrait croire la suite croissante. Pourtant $u_4 = 4$ : elle redescend.

Pour conclure, étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ pour tout $n$ .

Confondre majorée et minorée

Retenir : majorée, c'est un plafond ( $u_n \leq M$ ) ; minorée, c'est un plancher ( $u_n \geq m$ ).

La suite $u_n = n$ est minorée par 0, mais elle n'est pas majorée.

Croire qu'une suite bornée est forcément monotone

Une suite peut rester coincée entre deux valeurs sans être monotone.

La suite $u_n = (-1)^n$ est bornée (entre $-1$ et $1$ ), mais elle alterne : elle n'est pas monotone.

Croire qu'une suite monotone est forcément bornée

Une suite peut aller toujours dans le même sens sans jamais être arrêtée.

La suite $u_n = n$ est croissante, mais elle n'est pas majorée, donc pas bornée.