Limites de suites

Cette fiche permet de déterminer la limite d'une suite : savoir ce qu'il se passe quand $n$ devient très grand, et le calculer sans deviner.

1. Définition

Notion de limite d'une suite

Chercher la limite d'une suite $(u_n)$ , c'est se demander ce que deviennent ses termes lorsque $n$ devient de plus en plus grand : ils peuvent se rapprocher d'un nombre, devenir immenses, ou ne pas se stabiliser.

Cette limite, lorsqu'elle existe, se note :

$\lim_{n \to +\infty} u_n$

Limite finie et infinie

Limite finie. La suite $(u_n)$ a pour limite le réel $L$ si quand n augmente $(u_n)$ se rapproche de plus en plus de $L$ . On écrit $u_n \to L$ : la suite converge.

Limite $+\infty$ . La suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ si tout intervalle de la forme $]A\ ;\ +\infty[$ contient tous les termes à partir d'un certain rang. Autrement dit, quel que soit le nombre $A$ choisi, aussi grand soit-il, les termes finissent tous par le dépasser.

Exemple : $u_n = n^2$ et $A = 10\,000$ . On a $n^2 > 10\,000$ dès que $n \geq 101$ . À partir du rang 101, tous les termes dépassent 10 000. Et cela marche pour n'importe quel $A$ : il faut seulement aller plus loin dans la suite.

Limite $-\infty$ . La suite $(u_n)$ tend vers $-\infty$ si tout intervalle de la forme $]-\infty\ ;\ A[$ contient tous les termes à partir d'un certain rang : les termes finissent tous sous n'importe quel nombre.

Exemple : $u_n = -n$ tend vers $-\infty$ .

À retenir :

limite finie : la suite converge ;
limite infinie, ou pas de limite du tout (comme $(-1)^n$ ) : la suite diverge.

2. Limites usuelles

Suites de référence à connaître

Ces limites servent de base à tous les calculs suivants. Il faut les connaître sans hésiter.

Suite	Limite
$n$	$+\infty$
$n^2$	$+\infty$
$n^k$ (avec $k$ entier, $k \geq 1$ )	$+\infty$
$\sqrt{n}$	$+\infty$
$\dfrac{1}{n}$	$0$
$\dfrac{1}{n^2}$	$0$
$\dfrac{1}{n^k}$ (avec $k$ entier, $k \geq 1$ )	$0$
$\dfrac{1}{\sqrt{n}}$	$0$

L'idée à garder en tête : une puissance de $n$ devient immense, et son inverse devient minuscule.

Puissances et expressions classiques

Pour la suite géométrique $q^n$ , la limite dépend de la valeur de $q$ :

Valeur de $q$	Limite de $q^n$	Exemple
$q > 1$	$+\infty$	$2^n$
$q = 1$	$1$	$1^n = 1$
$-1 < q < 1$	$0$	$\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ , $(-0{,}5)^n$
$q \leq -1$	pas de limite	$(-1)^n$ , $(-2)^n$

Pour $q \leq -1$ , la suite alterne entre des valeurs positives et négatives sans jamais se stabiliser : elle n'a pas de limite.

3. Formes indéterminées

Pour calculer une limite, on utilise d'abord les règles de calcul sur les limites. Elles sont assez naturelles :

si $u_n \to L$ et $v_n \to L'$ , alors $u_n + v_n \to L + L'$ , $u_n \times v_n \to L \times L'$ et, si $L' \neq 0$ , $\dfrac{u_n}{v_n} \to \dfrac{L}{L'}$ ;
$+\infty + (+\infty) = +\infty$ et $+\infty \times (+\infty) = +\infty$ ;
un nombre divisé par une quantité qui tend vers $\pm\infty$ donne $0$ .

Dans certains cas, ces règles ne permettent pas de conclure : on parle de forme indéterminée.

0/0 ; +∞/+∞ ; 0 × +∞ ; +∞ − ∞

Ces quatre formes sont indéterminées :

$\frac{0}{0} \qquad \frac{+\infty}{+\infty} \qquad 0 \times (+\infty) \qquad +\infty - \infty$

« Indéterminée » ne veut pas dire « pas de limite ». Cela veut dire que le résultat dépend des suites en jeu, et qu'il faut transformer l'expression pour conclure.

Exemple avec $+\infty - \infty$ : trois suites de ce type, trois résultats différents.

$n - n = 0$ , qui tend vers $0$ ;
$n^2 - n$ , qui tend vers $+\infty$ ;
$n - n^2$ , qui tend vers $-\infty$ .

Méthodes pour les traiter

Méthode 1 : factoriser par le terme dominant.

Le terme dominant est celui qui « pèse le plus » quand $n$ est grand (la plus grande puissance de $n$ ). Le factoriser fait apparaître des termes dont la limite est connue. Cette méthode règle $+\infty - \infty$ et $\dfrac{+\infty}{+\infty}$ .

Exemple ( $+\infty - \infty$ ) : $u_n = n^2 - n$ .

$u_n = n^2\left(1 - \frac{1}{n}\right)$

Or $n^2 \to +\infty$ et $1 - \dfrac{1}{n} \to 1$ . Par produit, $u_n \to +\infty$ .

Exemple ( $\dfrac{+\infty}{+\infty}$ ) : $u_n = \dfrac{2n + 1}{n + 3}$ .

Factoriser le numérateur et le dénominateur par $n$ , puis simplifier :

$u_n = \frac{n\left(2 + \dfrac{1}{n}\right)}{n\left(1 + \dfrac{3}{n}\right)} = \frac{2 + \dfrac{1}{n}}{1 + \dfrac{3}{n}}$

Le numérateur tend vers $2$ , le dénominateur vers $1$ . Par quotient, $u_n \to 2$ .

Méthode 2 : simplifier ou se ramener à un seul quotient.

Cette méthode règle $0 \times (+\infty)$ et $\dfrac{0}{0}$ .

Exemple ( $0 \times (+\infty)$ ) : $u_n = n \times \dfrac{1}{n^2}$ .

$u_n = \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n} \to 0$

Exemple ( $\dfrac{0}{0}$ ) : $u_n = \dfrac{\dfrac{1}{n}}{\dfrac{1}{n^2}}$ .

$u_n = \frac{1}{n} \times n^2 = n \to +\infty$

Méthode 3 : multiplier par la quantité conjuguée.

Quand l'expression contient une différence de racines carrées ( $+\infty - \infty$ ), multiplier et diviser par la somme des deux racines. L'identité $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ fait disparaître les racines.

Exemple : $u_n = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$ .

$u_n = \frac{\left(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1} + \sqrt{n}\right)}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$

Le dénominateur tend vers $+\infty$ . Donc $u_n \to 0$ .

4. Comparaison

Théorème des gendarmes

Soient $(u_n)$ , $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites telles que, à partir d'un certain rang :

$u_n \leq v_n \leq w_n$

Si $(u_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la même limite $L$ , alors $(v_n)$ converge aussi vers $L$ .

L'idée : la suite $(v_n)$ est coincée entre deux suites qui se rejoignent en $L$ . Elle n'a pas d'autre choix que d'aller en $L$ elle aussi.

Comparaison de suites

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que, à partir d'un certain rang :

si $u_n \geq v_n$ et $v_n \to +\infty$ , alors $u_n \to +\infty$ ;
si $u_n \leq v_n$ et $v_n \to -\infty$ , alors $u_n \to -\infty$ .

L'idée : une suite qui reste au-dessus d'une suite qui part vers $+\infty$ part elle aussi vers $+\infty$ . Ce théorème ne sert que pour les limites infinies.

Utilisation pour déterminer une limite

Quand le calcul direct est impossible (par exemple à cause d'un $(-1)^n$ ou d'un cosinus), procéder en trois temps :

Choisir le théorème : gendarmes pour une limite finie attendue, comparaison pour une limite infinie.
Encadrer ou minorer la suite à l'aide d'une inégalité connue, comme $-1 \leq (-1)^n \leq 1$ .
Conclure en citant le théorème et les limites des suites de comparaison.

Exemple (gendarmes) : déterminer la limite de $v_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$ pour $n \geq 1$ .

Pour tout entier $n \geq 1$ , on a $-1 \leq (-1)^n \leq 1$ . En divisant par $n$ qui est positif :

$-\frac{1}{n} \leq \frac{(-1)^n}{n} \leq \frac{1}{n}$

Or $-\dfrac{1}{n} \to 0$ et $\dfrac{1}{n} \to 0$ . D'après le théorème des gendarmes, $v_n \to 0$ .

Exemple (comparaison) : déterminer la limite de $u_n = n + (-1)^n$ .

Pour tout $n$ , on a $(-1)^n \geq -1$ , donc :

$u_n \geq n - 1$

Or $n - 1 \to +\infty$ . D'après le théorème de comparaison, $u_n \to +\infty$ .