Convergence des suites

Cette fiche donne un nom précis à ce que l'on a observé jusqu'ici : certaines suites se rapprochent d'une valeur, d'autres non. Chaque notion est illustrée par un exemple simple.

1. Comprendre la convergence

Idée intuitive de convergence

Une suite converge lorsque ses termes se rapprochent d'un nombre fixe, de plus en plus près, à mesure que $n$ grandit.

Exemple : $u_n = \dfrac{1}{n+1}$ donne $1\ ;\ 0{,}5\ ;\ 0{,}33\ ;\ 0{,}25\ ;\ 0{,}2\ ;\ \dots$ Les termes se rapprochent de 0 : la suite converge vers 0.

Les termes n'ont pas besoin d'être toujours du même côté du nombre visé. Voici une suite qui s'en rapproche en alternant :

Exemple : $u_n = 3 + \dfrac{(-1)^n}{n+1}$ donne $4\ ;\ 2{,}5\ ;\ 3{,}33\ ;\ 2{,}75\ ;\ 3{,}2\ ;\ \dots$ Les termes passent tantôt au-dessus, tantôt au-dessous de 3, mais s'en rapprochent : la suite converge vers 3.

Définition de la limite d'une suite

Une suite converge vers un réel $L$ si ses termes se rapprochent de plus en plus de $L$ . À partir d’un certain rang, ils restent aussi proches de $L$ qu’on le souhaite.

Le réel $L$ s'appelle la limite de la suite. Lorsqu'elle existe, cette limite est unique.

En pratique : choisir un intervalle aussi petit que l'on veut autour de $L$ . À partir d'un certain rang, tous les termes y restent.

Exemple : $u_n = \dfrac{1}{n+1}$ et $L = 0$ . Prendre l'intervalle $]-0{,}01\ ;\ 0{,}01[$ .

Un terme est dans cet intervalle lorsque $\dfrac{1}{n+1} < 0{,}01$ , c'est-à-dire lorsque $n + 1 > 100$ , soit $n \geq 100$ . À partir du rang 100, tous les termes sont dans l'intervalle. Et cela marche aussi avec un intervalle encore plus petit : il faut seulement aller plus loin dans la suite.

Notation $u_n \to L$

Pour dire que la suite $(u_n)$ converge vers $L$ , écrire :

$u_n \to L \quad \text{ou} \quad \lim_{n \to +\infty} u_n = L$

Se lit : « $u_n$ tend vers $L$ quand $n$ tend vers l'infini ».

Exemple : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n+1} = 0$ .

Interprétation graphique

Représenter la suite par les points $(n\,;\,u_n)$ . Dire que $u_n \to L$ signifie que ces points se rapprochent de la droite horizontale d'équation $y = L$ .

Pour une bande aussi fine que l'on veut autour de cette droite, tous les points sont dans la bande à partir d'un certain rang. Seuls les premiers points peuvent en sortir.

Pour $u_n = \dfrac{1}{n+1}$ : les points descendent et s'écrasent contre la droite $y = 0$ .
Pour $u_n = 3 + \dfrac{(-1)^n}{n+1}$ : les points sautent de part et d'autre de la droite $y = 3$ , en s'en approchant à chaque saut.

Différence entre convergence et divergence

Une suite est convergente si elle a une limite finie $L$ . Dans tous les autres cas, elle est divergente.

Une suite divergente peut se comporter de deux façons :

Ses termes deviennent de plus en plus grands (ou de plus en plus petits) et dépassent n'importe quel nombre : on dit qu'elle tend vers $+\infty$ (ou $-\infty$ ). Exemple : $u_n = n$ donne $0\ ;\ 1\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ \dots$
Ses termes ne se stabilisent pas : ils ne se rapprochent d'aucun nombre. Exemple : $u_n = (-1)^n$ alterne sans cesse entre $1$ et $-1$ .

2. Convergence dans la monotonie et bornes

Théorèmes de convergence associés

Dans la fiche précédente, on a vu qu'une suite croissante et majorée ne peut pas « partir vers l'infini ». Voici l'énoncé précis.

Théorème 1. Toute suite croissante et majorée est convergente.

Théorème 2. Toute suite décroissante et minorée est convergente.

Ces théorèmes garantissent que la limite existe. Ils ne donnent pas sa valeur.

Pour les utiliser, vérifier les deux conditions : la suite est monotone dans le bon sens et elle est bornée du bon côté (majorée si elle est croissante, minorée si elle est décroissante).

Exemple : $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n + 3}{2}$ .

Elle est majorée par 3
Elle est croissante : $u_{n+1} - u_n = \dfrac{u_n + 3}{2} - u_n = \dfrac{3 - u_n}{2}$ , et comme $u_n \leq 3$ , cette différence est positive.

La suite est croissante et majorée : d'après le théorème 1, elle converge.

3. Erreurs fréquentes

Confondre suite bornée et suite convergente

Toute suite convergente est bornée : à partir d'un certain rang, ses termes restent près de la limite. Mais la réciproque est fausse.

La suite $u_n = (-1)^n$ est bornée (entre $-1$ et $1$ ), mais elle ne converge pas.

Confondre convergence et monotonie

La monotonie décrit le sens dans lequel va la suite. La convergence décrit ce qu'il se passe à l'infini. Ce sont deux notions différentes.

$u_n = n$ est croissante, mais elle diverge.
$u_n = \dfrac{1}{n+1}$ est décroissante, et elle converge.

Croire qu'une suite qui n'est pas monotone ne peut pas converger

Une suite peut changer de sens sans arrêt et converger quand même.

La suite $u_n = 3 + \dfrac{(-1)^n}{n+1}$ n'est pas monotone, mais elle converge vers 3.

Utiliser un théorème sans vérifier ses conditions

Avant d'appliquer un théorème, vérifier toutes ses conditions, dans le bon sens.

$u_n = (-1)^n$ est majorée, mais elle n'est pas croissante : le théorème 1 ne s'applique pas.
$u_n = -n$ est décroissante, mais elle n'est pas minorée : le théorème 2 ne s'applique pas. Et en effet, elle diverge. Attention : elle est bien majorée (par $u_0 = 0$ ), mais pour une suite décroissante, c'est la minoration qu'il faut.

Confondre la limite avec un terme $u_n$

La limite $L$ est un nombre fixe, vers lequel les termes se rapprochent. Ce n'est pas un terme de la suite, et la suite ne l'atteint pas forcément.

La suite $u_n = \dfrac{1}{n+1}$ converge vers 0, mais aucun de ses termes ne vaut 0. Et le terme $u_{100} = \dfrac{1}{101}$ n'est pas la limite : il en est seulement proche.