Mon cahier › Probabilités

Fiche de synthèse — Probabilités

1. Probabilités conditionnelles

La probabilité de AA sachant BB se note PB(A)P_B(A) ou P(A∣B)P(A\mid B).

PB(A)=P(A∩B)P(B)\boxed{P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}}

Donc :

P(A∩B)=P(B)×PB(A)\boxed{P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A)}

Formule des probabilités totales :

Si BB et B‾\overline B forment une partition de l'univers :

P(A)=P(B)×PB(A)+P(B‾)×PB‾(A)\boxed{ P(A)=P(B)\times{P_B(A)}+P(\overline B)\times{P_{\overline B}(A)} }

Indépendance :

Deux événements AA et BB sont indépendants si :

P(A∩B)=P(A)×P(B)\boxed{P(A\cap B)=P(A)\times{P(B)}}

Si AA et BB sont indépendants, alors PB(A)=P(A)P_B(A)=P(A)

2. Variables aléatoires

Une variable aléatoire XX associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire.

Espérance

Si XX prend les valeurs x1,…,xnx_1,\ldots,x_n avec les probabilités p1,…,pnp_1,\ldots,p_n :

E(X)=∑i=1nxipi\boxed{E(X)=\sum_{i=1}^{n}x_ip_i}

L'espérance représente la moyenne théorique à long terme.

Variance et écart-type

V(X)=E(X2)−[E(X)]2\boxed{V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2}

avec :

E(X2)=∑i=1nxi2piE(X^2)=\sum_{i=1}^{n}x_i^2p_i

L'écart-type est :

σ(X)=V(X)\boxed{\sigma(X)=\sqrt{V(X)}}

Il mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance.

Linéarité de l'espérance

Pour deux constantes aa et bb :

E(aX+b)=aE(X)+b\boxed{E(aX+b)=aE(X)+b}

3. Loi binomiale

Une variable aléatoire XX suit une loi binomiale B(n ;p)\mathcal B(n\,;p) si elle compte le nombre de succès lors de nn répétitions indépendantes d'une même expérience, chaque succès ayant une probabilité pp.

Les trois conditions à vérifier :

  • Un nombre fixe nn de répétitions.
  • Deux issues possibles : succès ou échec.
  • Des répétitions indépendantes avec une probabilité de succès constante pp.

Probabilité d'obtenir exactement kk succès

P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−k\boxed{ P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k} }

avec :

(nk)=n!k!(n−k)!\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}

Espérance, variance et écart-type

Si X∼B(n ;p)X\sim\mathcal B(n\,;p) :

E(X)=n×p\boxed{E(X)=n\times p} V(X)=(n×p)(1−p)\boxed{V(X)=(n \times p)(1-p)} σ(X)=(n×p)(1−p)\boxed{\sigma(X)=\sqrt{(n\times p)(1-p)}}

Reconnaître la probabilité demandée

  • Exactement kk : P(X=k)P(X=k).

  • Au plus kk : P(X≤k)P(X\leq k).

  • Moins de kk : P(X<k)=P(X≤k−1)P(X<k)=P(X\leq k-1).

  • Au moins kk : P(X≥k)=1−P(X≤k−1)P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1).

  • Plus de kk : P(X>k)=1−P(X≤k)P(X>k)=1-P(X\leq k).

4. Réflexes essentiels

  • Pour une probabilité conditionnelle, repérer l'événement placé après « sachant que ».
  • Pour les probabilités totales, identifier les cas qui forment une partition de l'univers.
  • Pour une loi binomiale, vérifier les trois conditions avant d'utiliser la formule.
  • Distinguer P(X=k)P(X=k) d'une probabilité cumulée comme P(X≤k)P(X\leq k).
  • Pour l'espérance, multiplier chaque valeur par sa probabilité.
  • Vérifier qu'une probabilité est comprise entre 00 et 11.