Variables aléatoires

Cette fiche explique comment transformer une expérience aléatoire en nombres, puis comment résumer ces nombres avec trois indicateurs : l'espérance, la variance et l'écart-type. Un même jeu sert d'exemple tout du long.

Le jeu : on lance un dé équilibré à 6 faces. On gagne :

4 € si on obtient 6 ;
1 € si on obtient 4 ou 5 ;
on perd 1 € (gain de $-1$ ) si on obtient 1, 2 ou 3.

1. Variable aléatoire

Définition

Une variable aléatoire $X$ est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue, chaque possibilité d'une expérience aléatoire.

Dans notre jeu, $X$ désigne le gain en euros. Elle transforme chaque résultat du dé en un nombre.

Associer à chaque issue une valeur

Pour chaque issue possible, indiquer la valeur prise par $X$ :

Issue (résultat du dé)	1	2	3	4	5	6
Valeur de $X$	$-1$	$-1$	$-1$	$1$	$1$	$4$

Plusieurs issues peuvent donner la même valeur : ici, les issues 1, 2 et 3 donnent toutes $-1$ .

L'écriture $(X = 1)$ désigne l'événement « $X$ prend la valeur 1 », c'est-à-dire l'ensemble des issues qui donnent 1 : ici $\{4\ ;\ 5\}$ .

2. Loi de probabilité

Déterminer la loi d'une variable aléatoire

La loi de probabilité de $X$ donne, pour chaque valeur possible $x_i$ , la probabilité $P(X = x_i)$ .

Méthode en trois temps :

Lister les valeurs prises par $X$ : ici $-1$ , $1$ et $4$ .
Pour chaque valeur, repérer les issues qui y mènent.
Additionner les probabilités de ces issues.

Chaque face du dé a une probabilité de $\dfrac{1}{6}$ , donc :

$P(X = -1) = P(\{1\ ;\ 2\ ;\ 3\}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$
$P(X = 1) = P(\{4\ ;\ 5\}) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$
$P(X = 4) = P(\{6\}) = \dfrac{1}{6}$

On présente la loi dans un tableau :

$x_i$	$-1$	$1$	$4$
$P(X = x_i)$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{3}$	$\dfrac{1}{6}$

Vérification indispensable : la somme des probabilités doit valoir 1.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = 1$

Représenter les probabilités

La loi se représente par un diagramme en bâtons :

placer les valeurs $x_i$ sur l'axe horizontal ;
au-dessus de chaque valeur, tracer un bâton dont la hauteur est $P(X = x_i)$ .

Pour notre jeu : trois bâtons, en $-1$ (hauteur $\frac{1}{2}$ ), en $1$ (hauteur $\frac{1}{3}$ ) et en $4$ (hauteur $\frac{1}{6}$ ). Plus le bâton est haut, plus la valeur est probable.

3. Espérance, variance et écart-type

Calculer ces indicateurs

Espérance. Multiplier chaque valeur par sa probabilité, puis additionner :

$E(X) = \sum x_i \times P(X = x_i)$

$E(X) = (-1) \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{3} + 4 \times \frac{1}{6} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$

Variance. La variance mesure à quel point les gains s'éloignent de la moyenne, ici $E(X) = 0{,}5$ . Le calcul se fait en trois étapes.

Étape 1 : Regarder de combien chaque gain s'éloigne de la moyenne, puis mettre cet écart au carré. Le carré évite que les écarts négatifs et positifs s'annulent.

Gain $-1$ : écart de $-1 - 0{,}5 = -1{,}5$ , au carré : $2{,}25$ .
Gain $1$ : écart de $1 - 0{,}5 = 0{,}5$ , au carré : $0{,}25$ .
Gain $4$ : écart de $4 - 0{,}5 = 3{,}5$ , au carré : $12{,}25$ .

Étape 2 : Multiplier chaque carré par la probabilité du gain, comme pour l'espérance.

$2{,}25 \times \dfrac{1}{2} = 1{,}125$
$0{,}25 \times \dfrac{1}{3} \approx 0{,}083$
$12{,}25 \times \dfrac{1}{6} \approx 2{,}042$

Étape 3 : Additionner.

$V(X) = 1{,}125 + 0{,}083 + 2{,}042 = 3{,}25$

En résumé : $V(X) = \sum P(X = x_i) \times \left(x_i - E(X)\right)^2$ .

Écart-type. La variance est en « euros au carré », ce qui ne parle pas beaucoup. Pour revenir à des euros, prendre la racine carrée :

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{3{,}25} \approx 1{,}80$

Interpréter les résultats

L'espérance est la valeur moyenne de $X$ si l'on répète l'expérience un très grand nombre de fois. Ici, $E(X) = 0{,}5$ : en jouant un grand nombre de parties, on gagne en moyenne 0,50 € par partie. Le jeu est favorable au joueur.
L'écart-type mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance, avec la même unité que $X$ (ici des euros). Plus il est grand, plus les gains varient d'une partie à l'autre. Ici, $\sigma \approx 1{,}80$ € : un gain typique s'écarte d'environ 1,80 € du gain moyen.
La variance donne la même information, mais en euros au carré : elle sert surtout de calcul intermédiaire.

4. Erreurs fréquentes

Confondre une valeur de $X$ avec sa probabilité

Une valeur de $X$ est un nombre pris par la variable ; sa probabilité est un nombre entre 0 et 1.

Dans notre jeu, la valeur $4$ est un gain ; sa probabilité est $P(X = 4) = \dfrac{1}{6}$ . Ne pas écrire $P(X = 4) = 4$ .

Oublier que la somme des probabilités vaut 1

Après avoir construit la loi, additionner toutes les probabilités. Si le total n'est pas 1, une valeur ou un calcul est faux.

Un tableau qui donne $0{,}2$ , $0{,}5$ et $0{,}2$ a pour total $0{,}9$ : il manque une valeur ou une probabilité.

Mal calculer l'espérance

Ne pas oublier de multiplier chaque valeur par sa probabilité avant d'additionner.

Additionner seulement les valeurs, $-1 + 1 + 4 = 4$ , est faux. Le bon calcul est $(-1) \times \dfrac{1}{2} + 1 \times \dfrac{1}{3} + 4 \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2}$ .

Confondre variance et écart-type

Ce sont deux indicateurs différents, liés par une racine carrée.

Dans notre jeu, $V(X) = 3{,}25$ et $\sigma(X) \approx 1{,}80$ .

Oublier de prendre la racine carrée pour passer de la variance à l'écart-type

Si le calcul s'arrête à $3{,}25$ , c'est la variance que l'on a obtenue, pas l'écart-type. L'écart-type est $\sqrt{3{,}25} \approx 1{,}80$ .

Mal interpréter l'espérance

L'espérance est une moyenne : ce n'est pas forcément une valeur que la variable peut réellement prendre.

Ici, $E(X) = 0{,}5$ , alors que les gains possibles sont seulement $-1$ , $1$ et $4$ . On ne gagne jamais 0,50 € lors d'une partie ; c'est la moyenne de nombreuses parties.