La loi binomiale

Reconnaître une situation de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience qui n'a que deux issues :

• le succès $S$, de probabilité $p$ ;
• l'échec $E$, de probabilité $1 - p$.

Ici, un lancer franc est une épreuve de Bernoulli : réussi ($S$) avec $p = 0{,}6$, raté ($E$) avec $1 - p = 0{,}4$.

Répéter plusieurs fois la même épreuve de façon indépendante s'appelle un schéma de Bernoulli. Ici, on répète $n = 3$ fois.

Vérifier les trois conditions :

• la même épreuve est répétée : chaque lancer est identique ;
• chaque épreuve a deux issues : réussi ou raté ;
• les épreuves sont indépendantes : c'est précisé dans l'énoncé.

Construire le schéma

Représenter les 3 lancers dans un arbre. Chaque trajet de gauche à droite est une suite de résultats possibles. Le nombre à droite est le nombre de succès dans ce trajet.

Début
├── S (0,6)
│   ├── S (0,6)
│   │   ├── S (0,6)   → SSS   3 succès
│   │   └── E (0,4)   → SSE   2 succès
│   └── E (0,4)
│       ├── S (0,6)   → SES   2 succès
│       └── E (0,4)   → SEE   1 succès
└── E (0,4)
    ├── S (0,6)
    │   ├── S (0,6)   → ESS   2 succès
    │   └── E (0,4)   → ESE   1 succès
    └── E (0,4)
        ├── S (0,6)   → EES   1 succès
        └── E (0,4)   → EEE   0 succès

Définir la variable aléatoire

Écrire précisément ce que compte la variable aléatoire :

Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de lancers réussis parmi les 3 lancers.

$X$ peut prendre les valeurs $0$, $1$, $2$ ou $3$.

Identifier la loi binomiale

$X$ compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de $n = 3$ épreuves, avec une probabilité de succès $p = 0{,}6$. $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n = 3$ et $p = 0{,}6$ :

$X \sim \mathcal{B}(3\ ;\ 0{,}6)$

Pour tout entier $k$ entre $0$ et $n$ :

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1 - p)^{n-k}$

D'où vient cette formule ? Sur l'arbre :

• chaque chemin avec exactement $k$ succès a pour probabilité $p^k (1 - p)^{n-k}$ (on multiplie les branches) ;
• le nombre de chemins avec exactement $k$ succès est $\dbinom{n}{k}$.

Il suffit de multiplier les deux. Pour $k = 2$ : les chemins $SSE$, $SES$ et $ESS$ sont au nombre de $\dbinom{3}{2} = 3$, et chacun a pour probabilité $0{,}6^2 \times 0{,}4$.

Calculer des probabilités

Probabilité d'avoir exactement 2 lancers réussis :

$P(X = 2) = \binom{3}{2} \times 0{,}6^2 \times 0{,}4^1 = 3 \times 0{,}36 \times 0{,}4 = 0{,}432$

On calcule de même les autres valeurs :

Vérification : $0{,}064 + 0{,}288 + 0{,}432 + 0{,}216 = 1$.

Probabilité d'avoir au moins 1 lancer réussi. Passer par l'événement contraire est plus rapide : « au moins 1 » est le contraire de « aucun ».

$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}064 = 0{,}936$

Probabilité d'avoir au plus 1 lancer réussi.

$P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0{,}064 + 0{,}288 = 0{,}352$

La calculatrice permet aussi de calculer ces probabilités avec sa fonction de loi binomiale.

Calculer et interpréter l'espérance

Pour une loi binomiale :

$E(X) = n \times p$

$E(X) = 3 \times 0{,}6 = 1{,}8$

Interprétation. Si le joueur effectuait un très grand nombre de séries de 3 lancers, il réussirait en moyenne 1,8 lancer par série. Ce n'est pas un nombre de réussites possible lors d'une série (on réussit 0, 1, 2 ou 3 lancers), mais c'est la moyenne sur de nombreuses séries.

Sur une copie il faudrait écrire :

Un lancer franc représente une épreuve de Bernoulli de succès $0{,}6$.

On répète cette épreuve de Bernoulli $3$ fois de manière indépendante.

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès.

Ainsi, $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(3\,;0{,}6)$.