Comprendre les primitives

Une primitive est le « chemin inverse » de la dérivation : on part de la dérivée, et on retrouve la fonction. Cette fiche explique cette idée, puis donne les primitives usuelles à connaître.

1. Définition

Lien entre fonction et dérivée

Dériver, c'est passer d'une fonction $F$ à sa dérivée $F'$ . Primitiver fait le chemin inverse : on se donne une fonction $f$ , et on cherche une fonction $F$ dont la dérivée est $f$ .

Définition. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que, pour tout $x$ de $I$ :

$F'(x) = f(x)$

Exemple : $f(x) = 2x$ et $F(x) = x^2$ . On a $F'(x) = 2x = f(x)$ : la fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

On admet que toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.

Reconnaître une primitive

Pour vérifier qu'une fonction $F$ est une primitive de $f$ : dériver $F$ et comparer le résultat à $f$ .

Exemple 1 : $F(x) = x^3 - x$ est-elle une primitive de $f(x) = 3x^2 - 1$ ?

$F'(x) = 3x^2 - 1 = f(x)$ . Oui.

Exemple 2 : $G(x) = x^3$ est-elle une primitive de $f(x) = 3x^2 - 1$ ?

$G'(x) = 3x^2 \neq 3x^2 - 1$ . Non.

Ajouter une constante $C$

La dérivée d'une constante est nulle. Donc, si $F$ est une primitive de $f$ , alors $F + C$ en est une aussi, pour tout réel $C$ :

$(F + C)' = F' + 0 = f$

Exemple : $x^2$ , $x^2 + 1$ et $x^2 - 5$ sont trois primitives de $2x$ .

Réciproquement, sur un intervalle, deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante. Ainsi, l'ensemble des primitives de $f$ sur $I$ est :

$\left\{F + C \ ;\ C \in \mathbb{R}\right\}$

Une fonction a donc une infinité de primitives. On parle d'une primitive de $f$ , et non de la primitive. La valeur de $C$ se fixe avec une condition supplémentaire, comme on le verra dans la fiche suivante.

2. Primitives usuelles

Reconnaître les principales formes et connaître les primitives correspondantes

Chaque ligne se lit dans le tableau des dérivées à l'envers. Dans le tableau, $F$ est une primitive de $f$ ; toutes les autres s'obtiennent en ajoutant une constante $C$ .

$f(x)$	Une primitive $F(x)$	Intervalle
$k$ (constante)	$kx$	$\mathbb{R}$
$x^n$ ( $n$ entier, $n \neq -1$ )	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$	$\mathbb{R}$ si $n \geq 0$ ; $]-\infty\ ;\ 0[$ ou $]0\ ;\ +\infty[$ si $n \leq -2$
$\dfrac{1}{x^2}$	$-\dfrac{1}{x}$	$]-\infty\ ;\ 0[$ ou $]0\ ;\ +\infty[$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln(x)$	$]0\ ;\ +\infty[$
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x}$	$]0\ ;\ +\infty[$
$e^{x}$	$e^{x}$	$\mathbb{R}$
$\cos(x)$	$\sin(x)$	$\mathbb{R}$
$\sin(x)$	$-\cos(x)$	$\mathbb{R}$

Pour chaque ligne, on peut vérifier en dérivant. Par exemple : $\left(\dfrac{x^2}{2}\right)' = x$ , $\left(-\dfrac{1}{x}\right)' = \dfrac{1}{x^2}$ , $\left(2\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ et $\left(-\cos(x)\right)' = \sin(x)$ .

Exemples d'utilisation :

une primitive de $x^4$ est $\dfrac{x^5}{5}$ ;
une primitive de $x$ est $\dfrac{x^2}{2}$ ;
une primitive de $\dfrac{1}{x^3} = x^{-3}$ est $\dfrac{x^{-2}}{-2} = -\dfrac{1}{2x^2}$ .

Les formes avec une fonction composée

En lisant à l'envers le tableau de dérivation des fonctions composées, on obtient les formes suivantes, où $u$ est une fonction dérivable :

$f(x)$	Une primitive $F(x)$	Condition	Exemple
$u'\,u^{n}$ ( $n \neq -1$ )	$\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$		$2x\,(x^2+1)^3 \longrightarrow \dfrac{(x^2+1)^4}{4}$
$u'\,e^{u}$	$e^{u}$		$2x\,e^{x^2} \longrightarrow e^{x^2}$
$\dfrac{u'}{u}$	$\ln(u)$	$u > 0$	$\dfrac{2x}{x^2+1} \longrightarrow \ln(x^2+1)$
$\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$	$2\sqrt{u}$	$u > 0$	$\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+1}} \longrightarrow 2\sqrt{x^2+1}$

Pour reconnaître ces formes, repérer dans l'expression une fonction $u$ et sa dérivée $u'$ .