Fiche de synthèse — Fonction logarithme

1. Domaine et propriétés

La fonction logarithme népérien $\ln$ est définie sur :

]0;+\infty[

Pour tout $x>0$ :

\ln(1)=0 \qquad \ln(e)=1

Le logarithme est la fonction réciproque de l'exponentielle :

\ln(e^x)=x \qquad e^{\ln(x)}=x \quad (x>0)

Pour tous réels $a>0$ et $b>0$ :

\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)

\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)

\ln(a^n)=n\ln(a)

En particulier :

\ln\left(\frac{1}{a}\right)=-\ln(a) \qquad \ln\left(\frac{1}{a^n}\right)=-n\ln(a)

Attention :

\ln(a+b)\neq\ln(a)+\ln(b)

Pour $x>0$ :

(\ln x)'=\frac{1}{x}

Pour une fonction $u$ dérivable et strictement positive :

(\ln u)'=\frac{u'}{u}

Comme $\frac{1}{x}>0$ sur $]0;+\infty[$ , la fonction $\ln$ est strictement croissante.

Ainsi, pour $a,b>0$ :

\ln(a)<\ln(b)\iff a<b

\lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty

\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty

Pour tout réel $n>0$ :

\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^n}=0

Le logarithme croît moins vite que toute puissance strictement positive à l'infini.

Pour $A>0$ :

\ln(x)=A\iff x=e^A

Plus généralement, pour $u>0$ et $v>0$ :

\ln(u)=\ln(v)\iff u=v

Puisque $\ln$ est strictement croissante, pour $u>0$ et $v>0$ :

\ln(u)<\ln(v)\iff u<v

De même :

\ln(u)\leq\ln(v)\iff u\leq v

Attention : avant tout calcul avec un logarithme, vérifier que son domaine de définition est strictement positif.

Déterminer le domaine : imposer que le domaine de définition de chaque logarithme soit strictement positif.
Simplifier une expression : utiliser les formules sur les produits, quotients et puissances.
Dériver $\ln(u)$ : calculer $\frac{u'}{u}$ .
Résoudre une équation avec des logarithmes : utiliser la stricte croissance de $\ln$ ou passer à l'exponentielle.
Résoudre une inéquation : utiliser la stricte croissance, après avoir vérifié les conditions de définition.
Calculer une limite : reconnaître les limites de référence et les croissances comparées.