Propriétés du logarithme népérien

Le logarithme népérien est la fonction « réciproque » de l'exponentielle : il permet de retrouver l'exposant. Cette fiche présente sa définition, ses propriétés de calcul, ses variations et ses limites.

1. Définition

Définition de $\ln(x)$

Le logarithme népérien de $x$ , noté $\ln(x)$ , est le nombre auquel il faut élever $e$ pour obtenir $x$ . Le logarithme népérien a pour ensemble de définition $]0\ ;\ +\infty[$ .

Lien avec la fonction exponentielle

Les fonctions $\ln$ et $\exp$ s'annulent mutuellement :

pour tout réel $x > 0$ : $e^{\ln(x)} = x$ ;
pour tout réel $x$ : $\ln\left(e^{x}\right) = x$ .

Et pour $x > 0$ et $y$ réel : $y = \ln(x) \iff x = e^y$ .

Exemples : $e^{\ln(5)} = 5$ et $\ln\left(e^3\right) = 3$ .

Valeurs particulières

$\ln(1) = 0$ , car $e^0 = 1$ ;
$\ln(e) = 1$ , car $e^1 = e$ .

On en déduit par exemple $\ln\left(\dfrac{1}{e}\right) = \ln\left(e^{-1}\right) = -1$ .

2. Propriétés de la fonction logarithme

Propriétés de calcul

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ , et tout entier $n$ :

$\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$ ;
$\ln\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln(a)$ ;
$\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$ ;
$\ln\left(a^n\right) = n \ln(a)$ ;
$\ln\left(\sqrt{a}\right) = \dfrac{1}{2}\ln(a)$ .
$(\ln(x))' = \dfrac{1}{x}$

Le logarithme transforme les produits en sommes, les quotients en différences et les puissances en produits.

Transformations d'expressions

Décomposer. Exprimer un logarithme à l'aide de logarithmes connus.

$\ln(6) = \ln(2 \times 3) = \ln(2) + \ln(3)$ ;
$\ln(12) = \ln(4 \times 3) = \ln\left(2^2\right) + \ln(3) = 2\ln(2) + \ln(3)$ .

Simplifier. Calculer $A = \ln(18) - 2\ln(3) + \ln(2)$ .

Comme $18 = 2 \times 3^2$ : $\ln(18) = \ln(2) + 2\ln(3)$ . Donc :

$A = \ln(2) + 2\ln(3) - 2\ln(3) + \ln(2) = 2\ln(2)$

Faire apparaître $e$ . $\ln\left(5e^3\right) = \ln(5) + \ln\left(e^3\right) = \ln(5) + 3$ .

Regrouper. Pour $x > 0$ : $\ln(x) + \ln(x+1) = \ln\left(x(x+1)\right)$ .

3. Variations et limites

Fonction strictement croissante

La dérivée de $\ln$ est $\ln'(x) = \dfrac{1}{x}$ . Pour $x > 0$ , elle est strictement positive : la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\ ;\ +\infty[$ .

Conséquences, pour $a > 0$ et $b > 0$ :

$a < b \iff \ln(a) < \ln(b)$ ;
$a = b \iff \ln(a) = \ln(b)$ ;
comme $\ln(1) = 0$ : $\ln(x) < 0$ pour $0 < x < 1$ , et $\ln(x) > 0$ pour $x > 1$ .

Limites

$\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \qquad \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$

Le logarithme tend vers $+\infty$ , mais très lentement.

$x$	$0$		$+\infty$
Variations de $\ln$	$-\infty$	$\nearrow$	$+\infty$

Interprétation graphique

La courbe de $\ln$ :

passe par les points $(1\ ;\ 0)$ et $(e\ ;\ 1)$ ;
est strictement croissante ;
admet l'axe des ordonnées ( $x = 0$ ) comme asymptote verticale : elle descend vers $-\infty$ en se rapprochant de cet axe ;
est la symétrique de la courbe de l'exponentielle par rapport à la droite $y = x$ , puisque les deux fonctions sont réciproques.

4. Erreurs fréquentes

Oublier que $\ln(x)$ n'est défini que pour $x > 0$

$\ln(-2)$ et $\ln(0)$ n'existent pas.

Avant d'écrire un logarithme, vérifier que son argument est strictement positif.

Confondre $\ln(1) = 0$ et $\ln(0) = 0$

$\ln(1) = 0$ est vrai, car $e^0 = 1$ . Mais $\ln(0)$ n'existe pas : aucun exposant ne donne $e^y = 0$ .

Confondre $\ln(a + b)$ avec $\ln(a) + \ln(b)$

Le logarithme transforme un produit en somme, pas une somme en somme : $\ln(a + b) \neq \ln(a) + \ln(b)$ .

Avec $a = b = 1$ : $\ln(1 + 1) = \ln(2) \approx 0{,}69$ , alors que $\ln(1) + \ln(1) = 0$ .

Mal utiliser les propriétés du logarithme, notamment pour les produits, quotients et puissances

Retenir la correspondance : produit → somme, quotient → différence, puissance → multiplication.

$\ln(a^2) = 2\ln(a)$ , et non $\left(\ln(a)\right)^2$ ;
$\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$ , et non $\dfrac{\ln(a)}{\ln(b)}$ .

Confondre le logarithme et l'exponentielle, notamment dans leur lien réciproque

Les deux fonctions s'annulent : $\ln\left(e^x\right) = x$ et $e^{\ln(x)} = x$ .

$\ln\left(e^3\right) = 3$ , et non $e^3$ ;
$e^{\ln(5)} = 5$ , et non $\ln(5)$ ;
$\ln(e) = 1$ , et non $e$ .