Étude de fonction logarithme

Cette fiche déroule une étude de fonction complète avec un logarithme : domaine, dérivée, signe, limites, tableau de variations, puis nombre de solutions d'une équation. Suivre chaque étape en refaisant les calculs.

1. Grand exemple guidé

Énoncé. Soit $f$ la fonction définie sur $]0\ ;\ +\infty[$ par :

$f(x) = \left(\ln(x)\right)^2 - 1$

Calculer la dérivée de $f$ et étudier son signe.
Dresser le tableau de variations de $f$ , en calculant les limites aux bornes.
Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ , puis les donner.

Étape 1 : vérifier le domaine de définition

La fonction $\ln$ n'est définie que pour $x > 0$ . L'énoncé donne bien $]0\ ;\ +\infty[$ comme domaine. L'étude se fait sur cet intervalle, et seulement sur celui-là.

Étape 2 : calculer la dérivée

Rappels : $\ln'(x) = \dfrac{1}{x}$ et $\left(u^2\right)' = 2u\,u'$ . Ici $u = \ln(x)$ , donc $u' = \dfrac{1}{x}$ .

$f'(x) = 2\ln(x) \times \frac{1}{x} = \frac{2\ln(x)}{x}$

Étape 3 : étudier le signe de la dérivée

Pour $x > 0$ , le dénominateur $x$ est strictement positif. Le signe de $f'(x)$ est donc celui de $\ln(x)$ :

$\ln(x) < 0$ pour $0 < x < 1$ , donc $f'(x) < 0$ ;
$\ln(1) = 0$ , donc $f'(1) = 0$ ;
$\ln(x) > 0$ pour $x > 1$ , donc $f'(x) > 0$ .

(On utilise ici que $\ln$ est strictement croissante avec $\ln(1) = 0$ .)

Étape 4 : calculer les limites

En $0^+$ : $\ln(x) \to -\infty$ , donc $\left(\ln(x)\right)^2 \to +\infty$ .

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$

En $+\infty$ : $\ln(x) \to +\infty$ , donc $\left(\ln(x)\right)^2 \to +\infty$ .

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$

Étape 5 : dresser le tableau de variations

Calculer la valeur au point où la dérivée s'annule : $f(1) = \left(\ln(1)\right)^2 - 1 = 0 - 1 = -1$ .

$x$	$0$		$1$		$+\infty$
Signe de $f'(x)$		$-$	$0$	$+$
Variations de $f$	$+\infty$	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$	$+\infty$

Lecture : $f$ est strictement décroissante sur $]0\ ;\ 1]$ et strictement croissante sur $[1\ ;\ +\infty[$ . Elle admet un minimum égal à $-1$ , atteint en $x = 1$ .

Étape 6 : nombre de solutions de $f(x) = 0$

Étudier chaque intervalle de monotonie séparément.

Sur $]0\ ;\ 1]$ : $f$ est continue et strictement décroissante. Elle prend ses valeurs dans $[-1\ ;\ +\infty[$ . Comme $0 \in [-1\ ;\ +\infty[$ , le théorème de la bijection donne une unique solution sur cet intervalle.

Sur $[1\ ;\ +\infty[$ : $f$ est continue et strictement croissante. Elle prend ses valeurs dans $[-1\ ;\ +\infty[$ . Comme $0 \in [-1\ ;\ +\infty[$ , il y a de nouveau une unique solution.

Ces deux solutions sont distinctes (l'une est dans $]0\ ;\ 1[$ , l'autre dans $]1\ ;\ +\infty[$ ). L'équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions.

Les trouver :

$f(x) = 0 \iff \left(\ln(x)\right)^2 = 1 \iff \ln(x) = 1 \ \text{ ou } \ \ln(x) = -1 \iff x = e \ \text{ ou } \ x = \frac{1}{e}$

On retrouve deux solutions, $x = \dfrac{1}{e}$ (dans $]0\ ;\ 1[$ ) et $x = e$ (dans $]1\ ;\ +\infty[$ ), ce qui confirme l'étude des variations.

2. Erreurs fréquentes

Oublier le domaine de définition de la fonction et donc étudier la fonction sur un mauvais intervalle

Toujours commencer par le domaine. Ici, $\ln(x)$ n'existe que pour $x > 0$ .

Étudier $f$ sur $\mathbb{R}$ , ou calculer $f(-1)$ , n'a aucun sens : $\ln(-1)$ n'existe pas.

Se tromper dans le calcul de la dérivée et donc en déduire de mauvaises variations

Pour dériver $\left(\ln(x)\right)^2$ , utiliser $\left(u^2\right)' = 2u\,u'$ avec $u = \ln(x)$ : on obtient $\dfrac{2\ln(x)}{x}$ .

Oublier le facteur $\dfrac{1}{x}$ (qui est la dérivée de $\ln(x)$ ) donnerait $2\ln(x)$ , ce qui est faux.

Confondre le signe de $f'(x)$ avec les variations de $f$

Le signe de $f'$ indique comment $f$ varie, pas si $f$ est positive ou négative.

$f'(x) < 0$ sur $]0\ ;\ 1[$ signifie que $f$ décroît sur cet intervalle. Cela ne dit pas que $f(x)$ est négatif.

Mal calculer les limites impliquant $\ln(x)$

Penser au comportement de $\ln(x)$ : $\ln(x) \to -\infty$ en $0^+$ et $\ln(x) \to +\infty$ en $+\infty$ .

Ne pas oublier ensuite l'effet de l'opération : $\left(\ln(x)\right)^2 \to +\infty$ en $0^+$ , car le carré d'un nombre qui tend vers $-\infty$ tend vers $+\infty$ .

Lire incorrectement un tableau de variations, notamment pour déterminer les extrêmes

Distinguer la valeur de l'extremum et le point où il est atteint.

Ici, le minimum de $f$ vaut $-1$ , et il est atteint en $x = 1$ . Écrire « le minimum est $1$ » ou « le minimum est atteint en $-1$ » est faux.

Conclure sur le nombre de solutions sans justifier avec les variations et les limites

Justifier sur chaque intervalle de monotonie : la fonction est continue, strictement monotone, et la valeur cherchée est comprise entre les valeurs (ou les limites) aux bornes. C'est l'application du théorème de la bijection.

Une phrase comme « il y a deux solutions car la courbe a l'air de couper deux fois l'axe » n'est pas une justification.