Calcul avec la fonction logarithme

Cette fiche apprend à résoudre des équations et des inéquations qui contiennent des logarithmes. Deux réflexes à garder : vérifier d'abord où l'expression existe, puis utiliser le fait que $\ln$ est strictement croissante.

1. Équations

Résoudre une équation de la forme $\ln(x) = a$

Pour un réel $a$ quelconque, l'équation $\ln(x) = a$ a une unique solution :

$\ln(x) = a \iff x = e^a$

Exemples :

$\ln(x) = 3 \iff x = e^3$ ;
$\ln(x) = -1 \iff x = e^{-1} = \dfrac{1}{e}$ .

Utiliser le lien entre le logarithme et l'exponentielle

Pour une équation de la forme $\ln(u(x)) = a$ , appliquer l'exponentielle aux deux membres : $\ln(u(x)) = a \iff u(x) = e^a$ , à condition que $u(x) > 0$ .

Exemple : résoudre $\ln(x - 2) = 1$ .

Condition d'existence : $x - 2 > 0 \iff x > 2$ .
Résolution : $\ln(x - 2) = 1 \iff x - 2 = e^1 \iff x = 2 + e$ .
Vérification : $2 + e \approx 4{,}7 > 2$ , donc la solution est dans le domaine.

La solution est $x = 2 + e$ .

Transformer une équation pour faire apparaître un même logarithme

Quand l'équation contient plusieurs logarithmes, utiliser les propriétés de calcul pour obtenir $\ln(\dots) = \ln(\dots)$ . Comme $\ln$ est strictement croissante, $\ln(A) = \ln(B) \iff A = B$ (pour $A > 0$ et $B > 0$ ).

Exemple 1 : résoudre $\ln(x + 1) = \ln(2x - 3)$ .

Conditions d'existence : $x + 1 > 0 \iff x > -1$ et $2x - 3 > 0 \iff x > \dfrac{3}{2}$ . Les deux sont vraies si $x > \dfrac{3}{2}$ .
Résolution : $x + 1 = 2x - 3 \iff x = 4$ .
Vérification : $4 > \dfrac{3}{2}$ , donc $x = 4$ est dans le domaine.

La solution est $x = 4$ .

Exemple 2 : résoudre $\ln(x) + \ln(x - 1) = \ln(6)$ .

Conditions d'existence : $x > 0$ et $x - 1 > 0$ , donc $x > 1$ .
Transformation : $\ln(x) + \ln(x - 1) = \ln\left(x(x-1)\right)$ . L'équation devient $\ln\left(x(x-1)\right) = \ln(6)$ .
Résolution : $x(x - 1) = 6 \iff x^2 - x - 6 = 0 \iff (x - 3)(x + 2) = 0$ . Les candidats sont $x = 3$ et $x = -2$ .
Vérification : $-2$ n'est pas supérieur à $1$ : il est rejeté. $3 > 1$ : il convient.

La solution est $x = 3$ .

Vérifier les conditions d'existence

Cette étape revient à chaque équation. La méthode en quatre temps :

Écrire les conditions : l'argument de chaque logarithme doit être strictement positif.
Résoudre l'équation.
Garder seulement les solutions qui respectent les conditions.
Conclure en donnant l'ensemble des solutions.

2. Inéquations

Utiliser le fait que le logarithme est strictement croissant

Comme $\ln$ est strictement croissante, elle conserve l'ordre : pour $a > 0$ et $b > 0$ ,

$a < b \iff \ln(a) < \ln(b) \qquad \text{et} \qquad a \leq b \iff \ln(a) \leq \ln(b)$

Le sens de l'inégalité ne change pas.

Comparer les logarithmes

Pour comparer deux logarithmes, comparer leurs arguments.

Exemple : $3 < 5$ , donc $\ln(3) < \ln(5)$ .

Autre résultat utile : $\ln(x) \leq 0 \iff \ln(x) \leq \ln(1) \iff 0 < x \leq 1$ , en n'oubliant pas la condition $x > 0$ .

Ramener une inéquation à une comparaison des nombres

Mettre l'inéquation sous la forme $\ln(A) < \ln(B)$ (ou avec un autre symbole), puis comparer $A$ et $B$ .

Pour comparer à un nombre $a$ : écrire $a = \ln\left(e^a\right)$ .

Exemple 1 : résoudre $\ln(x) > 2$ .

$\ln(x) > 2 \iff \ln(x) > \ln\left(e^2\right) \iff x > e^2$ . La condition $x > 0$ est automatiquement vérifiée. Les solutions sont $]e^2\ ;\ +\infty[$ .

Exemple 2 : résoudre $\ln(x - 2) < \ln(5)$ .

Condition d'existence : $x - 2 > 0 \iff x > 2$ .
Résolution : $x - 2 < 5 \iff x < 7$ .
Ensemble des solutions : $x > 2$ et $x < 7$ , donc $]2\ ;\ 7[$ .

Vérifier les conditions de définition

Garder l'intersection entre les solutions trouvées et le domaine de définition.

Exemple : résoudre $\ln(2x - 1) \geq \ln(x + 3)$ .

Conditions de définition : $2x - 1 > 0 \iff x > \dfrac{1}{2}$ et $x + 3 > 0 \iff x > -3$ . Le domaine est $\left]\dfrac{1}{2}\ ;\ +\infty\right[$ .
Résolution : $2x - 1 \geq x + 3 \iff x \geq 4$ .
Intersection : $x \geq 4$ et $x > \dfrac{1}{2}$ donnent $x \geq 4$ .

Les solutions sont $[4\ ;\ +\infty[$ .

3. Erreurs fréquentes

Oublier les conditions d'existence avant de résoudre une équation ou une inéquation

Écrire en premier : « Les logarithmes sont définis pour $x > \dots$ ». Sans cette étape, on peut accepter des « solutions » qui n'existent pas.

Résoudre puis oublier de vérifier que la solution est positive

Après la résolution, comparer chaque candidat aux conditions d'existence.

Dans l'équation $\ln(x) + \ln(x - 1) = \ln(6)$ , on trouve $x = 3$ et $x = -2$ . Seul $x = 3$ est valide, car $-2$ ne vérifie pas $x > 1$ .

Mal utiliser la croissance stricte du logarithme dans une inéquation

$\ln$ est strictement croissante : le sens de l'inégalité est conservé.

$\ln(x) < \ln(5) \iff x < 5$ , et non $x > 5$ . N'oublier pas non plus la condition de domaine :

$\ln(x) < -1 \iff 0 < x < e^{-1}$ , et non seulement $x < e^{-1}$ .

Conclure de $\ln(a) = \ln(b)$ à $a = b$ sans avoir vérifié que les deux expressions sont bien définies

L'équivalence $\ln(A) = \ln(B) \iff A = B$ n'est valable que si $A > 0$ et $B > 0$ .

Pour $\ln(x - 5) = \ln(3x - 9)$ , on trouve $x - 5 = 3x - 9 \iff x = 2$ . Mais pour $x = 2$ , on aurait $x - 5 = -3 < 0$ : les logarithmes n'existent pas. Les conditions $x > 5$ et $x > 3$ donnent $x > 5$ , et $2$ n'y est pas. L'équation n'a aucune solution.

Se tromper dans les transformations d'expressions avant de résoudre

Revoir les propriétés de calcul :

$\ln(x) + \ln(x - 1) = \ln\left(x(x-1)\right)$ , et non $\ln\left(x + (x - 1)\right)$ ;
$\ln(a) - \ln(b) = \ln\left(\dfrac{a}{b}\right)$ , et non $\ln(a - b)$ .