Mon cahier › Limites de fonctions

Fiche de synthèse — Limites de fonctions

1. Limites de référence

Limites à l'infini

Pour tout réel p>0p>0 :

lim⁡x→+∞xp=+∞\lim_{x\to+\infty}x^p=+\infty lim⁡x→−∞xp={+∞si p est pair−∞si p est impair\lim_{x\to-\infty}x^p= \begin{cases} +\infty & \text{si } p \text{ est pair}\\ -\infty & \text{si } p \text{ est impair} \end{cases}

Pour tout réel a>1a>1 :

lim⁡x→+∞ax=+∞lim⁡x→−∞ax=0\lim_{x\to+\infty}a^x=+\infty \qquad \lim_{x\to-\infty}a^x=0 lim⁡x→+∞ln⁡(x)=+∞lim⁡x→0+ln⁡(x)=−∞\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty \qquad \lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty lim⁡x→+∞1x=lim⁡x→−∞1x=0\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0

Croissances comparées

Pour tout réel p>0p>0 :

lim⁡x→+∞ln⁡(x)xp=0\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^p}=0 lim⁡x→+∞xpex=0\lim_{x\to+\infty}\frac{x^p}{e^x}=0

L'exponentielle l'emporte sur les puissances, qui l'emportent sur le logarithme, à l'infini.

2. Reconnaître une asymptote

Asymptote verticale

La droite d'équation x=ax=a est une asymptote verticale si au moins l'une des limites suivantes est infinie :

lim⁡x→a−f(x)=±∞oulim⁡x→a+f(x)=±∞\lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty \qquad\text{ou}\qquad \lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty

Asymptote horizontale

La droite d'équation y=ℓy=\ell est une asymptote horizontale si :

lim⁡x→+∞f(x)=ℓ\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell

ou :

lim⁡x→−∞f(x)=ℓ\lim_{x\to-\infty}f(x)=\ell

Autrement dit, si f(x)f(x) tend vers ±∞\pm\infty quand xx tend vers un réel fini aa il existe une asymptote verticale d'équation x=ax = a

Si f(x)f(x) tend vers un réel fini ℓ\ell quand xx tend vers ±∞\pm\infty, il existe une asymptote horizontale d'équation y=ℓy = \ell.

Asymptote oblique

La droite d'équation y=ax+by=ax+b est une asymptote oblique en +∞+\infty ou en −∞-\infty si :

lim⁡x→±∞(f(x)−(ax+b))=0\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-(ax+b)\big)=0

On peut rechercher les coefficients aa et bb avec :

a=lim⁡x→±∞f(x)xa=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}

puis :

b=lim⁡x→±∞(f(x)−ax)b=\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-ax\big)

Ces formules s'utilisent lorsque les limites existent et donnent des coefficients réels finis.

Remarque : Au bac, les asymptotes obliques tombent très rarement.

3. Calculer la limite d'une fonction composée

Pour calculer la limite de f(g(x))f(g(x)), on étudie d'abord la limite de la fonction intérieure g(x)g(x), puis celle de la fonction extérieure ff au voisinage de la valeur obtenue.

Si :

lim⁡x→ag(x)=ℓetlim⁡X→ℓf(X)=L\lim_{x\to a}g(x)=\ell \qquad\text{et}\qquad \lim_{X\to\ell}f(X)=L

alors, sous les conditions de définition nécessaires :

lim⁡x→af(g(x))=L\lim_{x\to a}f(g(x))=L

Attention : si g(x)g(x) tend vers une valeur où ff n'est pas définie, il faut étudier le comportement de ff au voisinage de cette valeur. Si la limite intérieure est infinie, on étudie la limite de ff en +∞+\infty ou en −∞-\infty.

4. Réflexes essentiels

  • Identifier vers quelle valeur tend xx.
  • Reconnaître une limite de référence ou une croissance comparée.
  • Pour une asymptote, vérifier la limite correspondant à la droite recherchée.
  • Pour une composée, calculer d'abord la limite intérieure, puis utiliser la limite extérieure adaptée.
  • Vérifier que les conditions d'application des résultats sont satisfaites.