Limite d'une fonction

La limite d'une fonction décrit ce que deviennent ses valeurs $f(x)$ quand $x$ s'approche d'un point, ou devient très grand. Cette fiche donne le sens de cette notion.

1. Limite en un point

Comment interpréter une limite

Sur la courbe de $f$ :

• limite finie $L$ en $a$ : quand on se rapproche de l'abscisse $a$, la courbe se rapproche de la hauteur $L$ ;
• limite infinie en $a$ : quand on se rapproche de l'abscisse $a$, la courbe monte (ou descend) indéfiniment ; on retrouvera cette situation avec les asymptotes verticales.

Différence entre $f(a)$ et $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)$

$f(a)$ est la valeur de la fonction au point $a$. La limite décrit le comportement de la fonction autour de $a$. Ce sont deux choses différentes, qui peuvent être égales (fonction continue) ou non.

Exemple : la fonction n'existe pas en $a$. $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ en $a = 1$.

$f(1)$ n'existe pas (division par $0$). Pourtant, pour $x \neq 1$ :

Si on remplace x par 1 on obtient $"\dfrac{0}{0}"$, c'est une forme indéterminée. On ne peut pas trouver la limite juste en remplaçant x par 1. On doit donc trouver une factorisation pour lever la forme indéterminée.

On remarque au numérateur la forme $a^2 - b^2$ qui s'écrit sous la forme $(a+b)(a-b)$

Donc :

$x^2 -1 = (x-1)(x+1)$

Donc : $f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1 \quad \Longrightarrow \quad \lim_{x \to 1} f(x) = 2$

Quand $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = f(a)$, on retrouve la continuité de $f$ en $a$.

2. Limites à gauche et à droite

Limite à droite

La limite à droite de $f$ en $a$ s'intéresse aux valeurs de $x$ juste au-dessus de $a$ ($x > a$). Elle se note :

$\lim_{x \to a^+} f(x) \qquad \text{ou} \qquad \lim_{\substack{x \to a \\ x > a}} f(x)$

Limite à gauche

La limite à gauche de $f$ en $a$ s'intéresse aux valeurs de $x$ juste au-dessous de $a$ ($x < a$). Elle se note :

$\lim_{x \to a^-} f(x) \qquad \text{ou} \qquad \lim_{\substack{x \to a \\ x < a}} f(x)$

Lien avec la limite en $a$

Si $f$ est définie autour de $a$, la limite de $f$ en $a$ existe si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et sont égales.

Exemple (les deux côtés coïncident) : $f(x) = x^2 + 1$ si $x < 2$, et

$f(x) = 3x - 1$ si $x \geq 2$.

• à gauche : $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x) = 2^2 + 1 = 5$ ;
• à droite : $\displaystyle \lim_{x \to 2^+} f(x) = 3 \times 2 - 1 = 5$.

Les deux limites sont égales : $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x) = 5$.

Exemple (les deux côtés diffèrent) : $f(x) = \dfrac{1}{x}$ en $a = 0$.

• à droite : pour $x > 0$ proche de $0$, $\dfrac{1}{x}$ est très grand et positif, donc $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ ;
• à gauche : pour $x < 0$ proche de $0$, $\dfrac{1}{x}$ est très grand et négatif, donc $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$.

Les limites à gauche et à droite sont différentes : $\dfrac{1}{x}$ n'a pas de limite en $0$.

3. Limites à l'infini

En $+\infty$ et en $-\infty$

Étudier la limite en $+\infty$, c'est regarder ce que devient $f(x)$ quand $x$ devient de plus en plus grand. Étudier la limite en $-\infty$, c'est regarder ce que devient $f(x)$ quand $x$ devient de plus en plus négatif.

• Limite finie : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ signifie que $f(x)$ se rapproche de $L$ quand $x$ devient très grand.
• Limite infinie : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ signifie que $f(x)$ devient aussi grand que l'on veut.

Exemples :

• $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$ et $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0$ ;

• $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} x^2 = +\infty$ ;

• $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$ ;

• $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ mais $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ : le comportement n'est pas toujours le même aux deux bouts.

Certaines fonctions n'ont pas de limite en $+\infty$ : par exemple $\cos(x)$ oscille indéfiniment entre $-1$ et $1$ sans se stabiliser.

4. Erreurs fréquentes