Calculs de limites

Cette fiche donne les outils pour calculer une limite : les opérations sur les limites, les limites usuelles, les méthodes pour lever une forme indéterminée, et le théorème des gendarmes.

1. Opérations sur les limites

Dans les tableaux suivants, $L$ et $L'$ sont des réels. Les limites peuvent être prises en $a$ , en $+\infty$ ou en $-\infty$ .

Somme et différence

Limite de $f$	Limite de $g$	Limite de $f + g$
$L$	$L'$	$L + L'$
$L$	$+\infty$	$+\infty$
$L$	$-\infty$	$-\infty$
$+\infty$	$+\infty$	$+\infty$
$-\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$+\infty$	$-\infty$	forme indéterminée

Pour une différence $f - g$ , écrire $f + (-g)$ .

Produit

Limite de $f$	Limite de $g$	Limite de $f \times g$
$L$	$L'$	$L \times L'$
$L > 0$	$+\infty$	$+\infty$
$L < 0$	$+\infty$	$-\infty$
$+\infty$	$+\infty$	$+\infty$
$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$0$	$\pm\infty$	forme indéterminée

Quotient

Limite de $f$	Limite de $g$	Limite de $\dfrac{f}{g}$
$L$	$L' \neq 0$	$\dfrac{L}{L'}$
$L$	$\pm\infty$	$0$
$\pm\infty$	$L' > 0$	$\pm\infty$ (même signe)
$L \neq 0$	$0^+$	$+\infty$ si $L > 0$ , $-\infty$ si $L < 0$
$L \neq 0$	$0^-$	$-\infty$ si $L > 0$ , $+\infty$ si $L < 0$
$\pm\infty$	$\pm\infty$	forme indéterminée
$0$	$0$	forme indéterminée

Pour un quotient dont le dénominateur tend vers $0$ , préciser le signe du dénominateur ( $0^+$ ou $0^-$ ).

Puissances

Pour un entier $n \geq 1$ :

si $\displaystyle \lim f = L$ , alors $\displaystyle \lim f^n = L^n$ ;
si $f \to +\infty$ , alors $f^n \to +\infty$ ;
si $f \to -\infty$ , alors $f^n \to +\infty$ quand $n$ est pair et $f^n \to -\infty$ quand $n$ est impair.

Rédaction

Citer l'opération utilisée, puis donner la limite.

Exemple : déterminer $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(x^2 + \frac{1}{x}\right)$ .

On a $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$ . Par somme, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(x^2 + \frac{1}{x}\right) = +\infty$ .

2. Limites usuelles

Puissances de $x$

Pour un entier $n \geq 1$ :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty$ ;
$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} x^n = +\infty$ si $n$ est pair, $-\infty$ si $n$ est impair ;
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^n} = 0$ et $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^n} = 0$ .

$\dfrac{1}{x}$ , racine de $x$ , exponentielles, logarithmes

Fonction	En $+\infty$	En $-\infty$	En $0$
$\dfrac{1}{x}$	$0$	$0$	$+\infty$ en $0^+$ ; $-\infty$ en $0^-$
$\dfrac{1}{x^2}$	$0$	$0$	$+\infty$ en $0^+$ et en $0^-$
$\sqrt{x}$	$+\infty$	non définie	$0$ en $0^+$
$e^{x}$	$+\infty$	$0$	$1$
$\ln(x)$	$+\infty$	non définie	$-\infty$ en $0^+$

Croissances comparées

Quand nous rencontrons des formes indéterminées mais qu'on ne peut pas factoriser l'expression on doit faire la limite par croissance comparée.

Ces quatre limites, à connaître, comparent la « vitesse » de l'exponentielle, de $\ln$ et de $x$ :

$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0 \qquad \lim_{x \to 0^+} x\ln(x) = 0 \qquad \lim_{x \to -\infty} x\,e^{x} = 0$

L'idée : l'exponentielle augmente plus vite vers l'infini que $x$ , et $x$ augmente plus vite vers l'infini que $\ln(x)$ .

3. Formes indéterminées

Les quatre formes indéterminées sont :

$\frac{0}{0} \qquad \frac{\pm\infty}{\pm\infty} \qquad 0 \times \infty \qquad +\infty - \infty$

Il faut les transformer pour obtenir une forme où l'on peut conclure.

Méthodes pour les faire disparaître

Méthode 1 : factoriser par le terme dominant (polynômes et fractions rationnelles en $\pm\infty$ ).

Le terme dominant est celui de plus haut degré. Le factoriser fait apparaître des termes dont la limite est connue.

Exemple : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(x^2 - 3x\right)$ est de la forme $+\infty - \infty$ .

$x^2 - 3x = x^2\left(1 - \frac{3}{x}\right)$

Or $x^2 \to +\infty$ et $1 - \dfrac{3}{x} \to 1$ . Par produit, la limite est $+\infty$ .

Exemple : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + x}{x^2 - 1}$ est de la forme $\dfrac{+\infty}{+\infty}$ .

$\frac{2x^2 + x}{x^2 - 1} = \frac{x^2\left(2 + \dfrac{1}{x}\right)}{x^2\left(1 - \dfrac{1}{x^2}\right)} = \frac{2 + \dfrac{1}{x}}{1 - \dfrac{1}{x^2}} \longrightarrow \frac{2}{1} = 2$

Méthode 2 : factoriser et simplifier (forme $\dfrac{0}{0}$ en un point).

Exemple : $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ est de la forme $\dfrac{0}{0}$ .

$\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1 \longrightarrow 2$

Méthode 3 : multiplier par la quantité conjuguée (différence de racines).

Exemple : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x+1} - \sqrt{x}\right)$ est de la forme $+\infty - \infty$ .

$\sqrt{x+1} - \sqrt{x} = \frac{(x+1) - x}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} \longrightarrow 0$

Méthode 4 : factoriser par l'exponentielle ou utiliser les croissances comparées.

Exemple : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(e^x - x\right)$ est de la forme $+\infty - \infty$ .

$e^x - x = e^x\left(1 - \frac{x}{e^x}\right)$

Par croissances comparées, $\dfrac{e^x}{x} \to +\infty$ , donc $\dfrac{x}{e^x} \to 0$ et $1 - \dfrac{x}{e^x} \to 1$ . Avec $e^x \to +\infty$ , la limite est $+\infty$ .

4. Théorème des gendarmes

Principe de l'encadrement

Théorème. Soient $f$ , $g$ et $h$ trois fonctions telles que, pour $x$ assez proche de $a$ (ou assez grand), $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ . Si $g$ et $h$ ont la même limite $L$ , alors $f$ a aussi pour limite $L$ .

L'idée : $f$ est coincée entre deux fonctions qui se rejoignent en $L$ . Elle n'a pas d'autre choix que d'aller en $L$ .

Reconnaître une situation où il peut être utilisé

Le théorème est utile quand $f$ contient un terme borné qui n'a pas de limite, comme $\sin(x)$ ou $\cos(x)$ , souvent divisé par une expression qui tend vers $\pm\infty$ .

Il sert à trouver une limite finie. Pour une limite infinie, on utilise plutôt une comparaison : par exemple, $x + \sin(x) \geq x - 1$ et $x - 1 \to +\infty$ , donc $x + \sin(x) \to +\infty$ .

Construire l'encadrement

Partir de l'inégalité connue ( $-1 \leq \sin(x) \leq 1$ ou $-1 \leq \cos(x) \leq 1$ ), puis multiplier ou diviser par une expression strictement positive (pour ne pas changer le sens des inégalités).

Déterminer la limite grâce aux deux bornes

Calculer les limites des deux bornes. Si elles sont égales, conclure avec le théorème.

Exemple : déterminer $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x)}{x}$ .

Pour $x > 0$ , on a $-1 \leq \sin(x) \leq 1$ . En divisant par $x > 0$ :

$-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin(x)}{x} \leq \frac{1}{x}$

Or $-\dfrac{1}{x} \to 0$ et $\dfrac{1}{x} \to 0$ . D'après le théorème des gendarmes, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x)}{x} = 0$ .

Autre exemple : déterminer $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\cos(x)}{x^2 + 1}$ .

Pour tout réel $x$ , $-1 \leq \cos(x) \leq 1$ . Comme $x^2 + 1 > 0$ :

$-\frac{1}{x^2 + 1} \leq \frac{\cos(x)}{x^2 + 1} \leq \frac{1}{x^2 + 1}$

Les deux bornes tendent vers $0$ en $+\infty$ . Donc la limite est $0$ .

5. Erreurs fréquentes

Ne pas lever la forme indéterminée

Une forme indéterminée n'a pas de valeur automatique. Écrire « $+\infty - \infty = 0$ » est faux : selon les fonctions, le résultat peut être $0$ , un réel, $+\infty$ ou $-\infty$ .

Pour $x^2 - 3x$ en $+\infty$ , la forme est $+\infty - \infty$ , et la limite est $+\infty$ (méthode 1).

Faire des opérations illégales

Ne pas manipuler $\infty$ comme un nombre ordinaire.

$\dfrac{\infty}{\infty} = 1$ est faux ;
$0 \times \infty = 0$ est faux ;
$\dfrac{1}{0} = +\infty$ est faux sans préciser le signe du dénominateur ( $0^+$ ou $0^-$ ).

Mauvaise factorisation

Vérifier qu'en redéveloppant on retrouve l'expression de départ.

$x^2 - 3x = x^2\left(1 - \dfrac{3}{x}\right)$ : en redéveloppant, $x^2 \times 1 - x^2 \times \dfrac{3}{x} = x^2 - 3x$ . Mais écrire $x^2(1 - 3x)$ est faux : cela redonne $x^2 - 3x^3$ .