Asymptotes

Une asymptote est une droite dont la courbe d'une fonction se rapproche de plus en plus. Cette fiche montre comment les repérer et les déterminer à partir des limites.

1. Asymptote verticale et horizontale

Asymptote verticale

Comprendre. Une asymptote verticale est une droite verticale dont la courbe se rapproche en montant ou en descendant indéfiniment.

Lien avec une limite. Si, quand $x$ se rapproche d'une valeur $a$ , $f(x)$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ (à gauche, à droite, ou des deux côtés), alors la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale.

$\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty \quad \text{ou} \quad \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$

Équation. $x = a$ .

Exemple : $f(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ .

à droite : $\displaystyle \lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$ ;
à gauche : $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$ .

La droite d'équation $x = 2$ une est asymptote verticale à la courbe.

Asymptote horizontale

Comprendre. Une asymptote horizontale est une droite horizontale dont la courbe se rapproche quand $x$ devient très grand (ou très négatif).

Lien avec une limite. Si $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ (réel), alors la droite d'équation $y = L$ est une asymptote horizontale en $+\infty$ . Même chose en $-\infty$ .

Équation. $y = L$ .

Exemple : $f(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ . On a $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ et $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ . La droite $y = 0$ (l'axe des abscisses) est asymptote horizontale en $+\infty$ et en $-\infty$ .

Exemple avec les deux types : $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 2}$ .

en $\pm\infty$ : $f(x) = \dfrac{x\left(2 + \dfrac{1}{x}\right)}{x\left(1 - \dfrac{2}{x}\right)} \to 2$ , donc $y = 2$ est asymptote horizontale ;
en $2^+$ : le numérateur tend vers $5 > 0$ et le dénominateur vers $0^+$ , donc $f(x) \to +\infty$ ; la droite $x = 2$ est asymptote verticale.

2. Asymptote oblique

Reconnaître une asymptote oblique

Une asymptote oblique est une droite ni verticale ni horizontale, d'équation $y = ax + b$ avec $a \neq 0$ , dont la courbe se rapproche quand $x \to +\infty$ (ou $-\infty$ ).

Le lien avec une expression du type $f(x) - (ax + b) \to 0$

La droite $y = ax + b$ est asymptote oblique à la courbe de $f$ en $+\infty$ si :

$\lim_{x \to +\infty} \left[f(x) - (ax + b)\right] = 0$

Autrement dit, l'écart vertical entre la courbe et la droite devient aussi petit que l'on veut.

Déterminer l'équation $y = ax + b$

Cas 1 : la fonction est déjà écrite sous la forme $ax + b + g(x)$ avec $g(x) \to 0$ . L'asymptote se lit directement : $y = ax + b$ .

Exemple : $f(x) = \dfrac{x^2 + x + 1}{x} = x + 1 + \dfrac{1}{x}$ . Comme $\dfrac{1}{x} \to 0$ , la droite $y = x + 1$ est asymptote oblique en $+\infty$ et en $-\infty$ .

Cas 2 : sinon, trouver $a$ puis $b$ avec des limites.

Le lien avec les limites permettant de trouver $a$ et $b$

Calculer le coefficient directeur : $\displaystyle a = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$ . Il doit être un réel non nul.
Calculer l'ordonnée à l'origine : $\displaystyle b = \lim_{x \to +\infty} \left[f(x) - ax\right]$ . Elle doit être un réel.

Exemple : $f(x) = \sqrt{x^2 + x}$ en $+\infty$ .

$\dfrac{f(x)}{x} = \sqrt{\dfrac{x^2 + x}{x^2}} = \sqrt{1 + \dfrac{1}{x}}$ (pour $x > 0$ ), qui tend vers $1$ . Donc $a = 1$ .
$f(x) - x = \sqrt{x^2 + x} - x$ . C'est une forme $+\infty - \infty$ , que l'on lève avec la quantité conjuguée :

$\sqrt{x^2 + x} - x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \frac{1}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{x}} + 1} \longrightarrow \frac{1}{2}$

Donc $b = \dfrac{1}{2}$ .

La droite $y = x + \dfrac{1}{2}$ est asymptote oblique en $+\infty$ . (En $-\infty$ , le même type de calcul donne une autre droite, $y = -x - \dfrac{1}{2}$ .)

3. Déterminer une asymptote à partir d'une fonction

Voici la démarche complète sur un exemple.

Énoncé. Étudier les asymptotes de la courbe de $f(x) = \dfrac{x^2 + x + 1}{x - 1}$ .

Partir de la fonction et analyser ses limites

Domaine : le dénominateur s'annule en $1$ . La fonction est définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ .

Limites aux bornes du domaine :

en $1^+$ : le numérateur tend vers $3 > 0$ et le dénominateur vers $0^+$ , donc $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$ ;
en $1^-$ : le numérateur tend vers $3 > 0$ et le dénominateur vers $0^-$ , donc $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$ ;
en $\pm\infty$ : $f(x) = \dfrac{x^2\left(1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}\right)}{x\left(1 - \dfrac{1}{x}\right)} = x \times \dfrac{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}}{1 - \dfrac{1}{x}}$ , qui tend vers $+\infty$ en $+\infty$ et $-\infty$ en $-\infty$ . Il n'y a pas d'asymptote horizontale.

Identifier quelle asymptote correspond au comportement observé

La limite infinie en $1$ donne une asymptote verticale.
Comme $f(x) \to \pm\infty$ en $\pm\infty$ , une asymptote oblique est possible. Pour la chercher, effectuer la division de $x^2 + x + 1$ par $x - 1$ :

$x^2 + x + 1 = (x - 1)(x + 2) + 3 \quad \Longrightarrow \quad f(x) = x + 2 + \frac{3}{x - 1}$

Comme $\dfrac{3}{x - 1} \to 0$ en $+\infty$ et en $-\infty$ , on a $f(x) - (x + 2) \to 0$ : il y a une asymptote oblique.

Déterminer son équation

asymptote verticale : $x = 1$ ;
asymptote oblique (en $+\infty$ et en $-\infty$ ) : $y = x + 2$ .

Éventuellement interpréter graphiquement le résultat

La courbe se rapproche de la droite verticale $x = 1$ en montant (à droite) et en descendant (à gauche), et se rapproche de la droite $y = x + 2$ aux deux extrémités.

Pour savoir de quel côté de la droite oblique se trouve la courbe, étudier le signe de $f(x) - (x + 2) = \dfrac{3}{x - 1}$ :

pour $x > 1$ , cette différence est positive : la courbe est au-dessus de la droite ;
pour $x < 1$ , elle est négative : la courbe est au-dessous.

4. Erreurs fréquentes

Confondre asymptote verticale et horizontale

Une asymptote verticale a pour équation $x = a$ et vient d'une limite en un point $a$ égale à $\pm\infty$ . Une asymptote horizontale a pour équation $y = L$ et vient d'une limite en $\pm\infty$ égale à un réel $L$ .

Pour $f(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ : $x = 2$ est asymptote verticale, $y = 0$ est asymptote horizontale.

Déduire une asymptote verticale d'une simple valeur interdite

Une valeur interdite n'implique pas une asymptote : il faut calculer la limite.

Pour $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ , la valeur $1$ est interdite. Mais $f(x) = x + 1$ pour $x \neq 1$ , donc $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = 2$ , qui est un réel : il n'y a pas d'asymptote verticale, seulement un « trou » dans la courbe.

Oublier qu'une fonction peut avoir deux comportements différents en $+\infty$ et en $-\infty$

Étudier chaque extrémité séparément.

Pour $f(x) = e^x$ : en $-\infty$ , $f(x) \to 0$ donc $y = 0$ est asymptote horizontale ; en $+\infty$ , $f(x) \to +\infty$ , et il n'y a pas d'asymptote.

Confondre « la courbe se rapproche de la droite » avec « elle ne peut jamais la couper »

Une asymptote décrit le comportement à l'infini (ou près d'un point), pas l'impossibilité de croiser la droite.

Pour $f(x) = 1 + \dfrac{\sin(x)}{x}$ , la droite $y = 1$ est asymptote horizontale en $+\infty$ , car $\dfrac{\sin(x)}{x} \to 0$ . Pourtant la courbe coupe cette droite chaque fois que $\sin(x) = 0$ , c'est-à-dire en $x = \pi$ , $2\pi$ , $3\pi$ , etc.