Mon cahier › Intégrales

Fiche de synthèse — Intégrales

1. Lien entre primitives et intégrales

Si FF est une primitive de ff sur [a ;b][a\,;b], alors :

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\boxed{\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)}

On note aussi :

∫abf(x) dx=[F(x)]ab\boxed{\int_a^b f(x)\,dx=[F(x)]_a^b}

Méthode :

  1. Trouver une primitive FF de ff.
  2. Calculer F(b)F(b) et F(a)F(a).
  3. Faire F(b)−F(a)F(b)-F(a), dans cet ordre.

2. Primitives usuelles à connaître

Pour une constante kk :

f(x)=k⇒F(x)=kxf(x)=xn⇒F(x)=xn+1n+1,n≠−1f(x)=1x⇒F(x)=ln⁡(x),x>0f(x)=ex⇒F(x)=ex\begin{aligned} f(x)=k &\Rightarrow F(x)=kx\\ f(x)=x^n &\Rightarrow F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1},\quad n\neq-1\\ f(x)=\frac1x &\Rightarrow F(x)=\ln(x),\quad x>0\\ f(x)=e^x &\Rightarrow F(x)=e^x \end{aligned}

Plus généralement, pour une fonction uu dérivable :

u′eu⇒euu′u⇒ln⁡∣u∣(u≠0)\begin{aligned} u'e^u &\Rightarrow e^u\\ \frac{u'}{u} &\Rightarrow \ln|u| \quad (u\neq0) \end{aligned}

3. Propriétés des intégrales

Pour des fonctions intégrables ff et gg, et une constante kk :

Linéarité :

∫ab(f(x)+g(x)) dx=∫abf(x) dx+∫abg(x) dx\int_a^b (f(x)+g(x))\,dx =\int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b g(x)\,dx ∫abkf(x) dx=k∫abf(x) dx\int_a^b kf(x)\,dx=k\int_a^b f(x)\,dx

Relation de Chasles :

∫abf(x) dx=∫acf(x) dx+∫cbf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx =\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx

Positivité :

Si f(x)≥0f(x)\geq0 sur [a ;b][a\,;b], alors :

∫abf(x) dx≥0\boxed{\int_a^b f(x)\,dx\geq0}

4. Intégration par parties

Pour deux fonctions uu et vv dérivables :

∫abu(x)v′(x) dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu′(x)v(x) dx\boxed{ \int_a^b u(x)v'(x)\,dx =[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)\,dx }

Réflexe : choisir uu pour que sa dérivée soit plus simple, et v′v' pour qu'une primitive soit facile à trouver et à manipuler dans les calculs.

5. Interprétation géométrique

L'intégrale représente une aire algébrique entre la courbe de ff et l'axe des abscisses.

  • Si f(x)≥0f(x)\geq0, l'intégrale est positive et correspond à l'aire sous la courbe.
  • Si f(x)≤0f(x)\leq0, l'intégrale est négative.
  • Si ff change de signe, les contributions positives et négatives se compensent.

À l'inverse d'une aire algébrique, une aire géométrique est toujours positive : si la courbe est sous l'axe, il faut prendre l'opposé de l'intégrale pour obtenir l'aire correspondante.

6. Réflexes essentiels

  • Distinguer une primitive d'une intégrale définie.
  • Pour calculer une intégrale, utiliser F(b)−F(a)F(b)-F(a).
  • Ne pas oublier les bornes ni inverser l'ordre du calcul.
  • Pour une intégration par parties, identifier clairement uu et v′v'.
  • Vérifier le signe de la fonction avant d'interpréter l'intégrale comme une aire.