Comprendre l'intégrale

L'intégrale d'une fonction entre deux bornes est un nombre qui mesure une « aire » sous la courbe, comptée avec un signe. Elle se calcule avec une primitive. Cette fiche donne la définition, son interprétation, et les propriétés de base.

1. Définition

Définition de l'intégrale

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ , et soient $a$ et $b$ deux réels de $I$ . Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$ . L'intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ est le nombre :

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$

On utilise souvent la notation $\left[F(x)\right]_a^b$ pour $F(b) - F(a)$ .

$a$ et $b$ sont les bornes de l'intégrale ;
la lettre $x$ est une variable « muette » : $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(t)\,dt$ .

Exemple : calculer $\displaystyle \int_0^2 x\,dx$ .

Une primitive de $x$ est $F(x) = \dfrac{x^2}{2}$ . Donc :

$\int_0^2 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2 = \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} = 2 - 0 = 2$

Lien avec une primitive

Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie. Prendre $F + C$ à la place de $F$ ne change rien, car la constante s'annule :

$\big(F(b) + C\big) - \big(F(a) + C\big) = F(b) - F(a)$

Dans l'exemple précédent, avec $F(x) = \dfrac{x^2}{2} + 7$ : $\left(2 + 7\right) - \left(0 + 7\right) = 2$ . On trouve le même résultat.

On choisit donc toujours la primitive la plus simple, sans constante.

Interprétation comme aire algébrique

Une unité d'aire (u.a.) est l'aire du rectangle de côtés $1$ en abscisse et $1$ en ordonnée.

Si $f$ est positive sur $[a\ ;\ b]$ (avec $a \leq b$ ), l'intégrale $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx$ est l'aire du domaine délimité par la courbe de $f$ , l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$ .

Vérification avec l'exemple : $\displaystyle \int_0^2 x\,dx = 2$ . Le domaine sous la droite $y = x$ entre $0$ et $2$ est un triangle de base $2$ et de hauteur $2$ , d'aire $\dfrac{2 \times 2}{2} = 2$ u.a.

Si $f$ change de signe, l'intégrale est une aire algébrique : les aires situées au-dessus de l'axe des abscisses comptent $+$ , celles situées au-dessous comptent $-$ .

Exemple : $\displaystyle \int_0^2 (x - 1)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} - x\right]_0^2 = (2 - 2) - 0 = 0$ .

La droite $y = x - 1$ passe sous l'axe sur $[0\ ;\ 1]$ (triangle d'aire $\dfrac{1}{2}$ , compté $-\dfrac{1}{2}$ ) et au-dessus sur $[1\ ;\ 2]$ (triangle d'aire $\dfrac{1}{2}$ , compté $+\dfrac{1}{2}$ ). Les deux se compensent : l'intégrale vaut $0$ .

Si $f$ est négative sur $[a\ ;\ b]$ , l'intégrale est négative : c'est l'opposé de l'aire géométrique.

Exemple : $\displaystyle \int_0^2 (x - 3)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} - 3x\right]_0^2 = (2 - 6) - 0 = -4$ .

2. Propriétés

Dans toutes les propriétés, $f$ et $g$ sont continues sur un intervalle $I$ , et $a$ , $b$ , $c$ sont des réels de $I$ .

Linéarité

L'intégrale d'une somme est la somme des intégrales, et une constante multiplicative sort de l'intégrale :

$\int_a^b \big(f(x) + g(x)\big)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx$

$\int_a^b k\,f(x)\,dx = k \int_a^b f(x)\,dx$

Exemple : $\displaystyle \int_0^1 \left(3x^2 + 2\right)dx = 3\int_0^1 x^2\,dx + \int_0^1 2\,dx = 3 \times \frac{1}{3} + 2 = 3$ .

Vérification directe : $\left[x^3 + 2x\right]_0^1 = (1 + 2) - 0 = 3$ .

Relation de Chasles

On peut découper l'intervalle d'intégration en deux, en passant par un réel intermédiaire $c$ :

$\int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx$

Exemple : avec $f(x) = x$ :

$\displaystyle \int_0^2 x\,dx = 2$ ;
$\displaystyle \int_2^3 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_2^3 = \frac{9}{2} - 2 = \frac{5}{2}$ ;
$\displaystyle \int_0^3 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^3 = \frac{9}{2}$ .

On vérifie : $2 + \dfrac{5}{2} = \dfrac{9}{2}$ .

Changement de sens des bornes

Échanger les bornes change le signe de l'intégrale :

$\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$

En particulier, $\displaystyle \int_a^a f(x)\,dx = 0$ .

Exemple : $\displaystyle \int_2^0 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_2^0 = 0 - 2 = -2$ , c'est l'opposé de $\displaystyle \int_0^2 x\,dx = 2$ .