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Calculer une intégrale

Cette fiche déroule le calcul d'une intégrale en trois temps : trouver une primitive, calculer F(b)−F(a)F(b) - F(a), puis utiliser les propriétés pour simplifier. Suivre chaque étape en refaisant les calculs.

1. Grand exemple guidé

Calculer l'intégrale d'une fonction à l'aide d'une primitive

Énoncé. Calculer :

I=∫01(3x2−2x+e2x)dxI = \int_0^1 \left(3x^2 - 2x + e^{2x}\right)dx

Trouver une primitive

Traiter la fonction terme par terme, et gérer les coefficients.

  • 3x2⟶x33x^2 \longrightarrow x^3 ;
  • −2x⟶−x2-2x \longrightarrow -x^2 ;
  • e2x⟶12e2xe^{2x} \longrightarrow \dfrac{1}{2}e^{2x} (on divise par le coefficient 22 de xx dans l'exposant).

Une primitive de f(x)=3x2−2x+e2xf(x) = 3x^2 - 2x + e^{2x} est :

F(x)=x3−x2+12e2xF(x) = x^3 - x^2 + \frac{1}{2}e^{2x}

Vérification : F′(x)=3x2−2x+12×2e2x=3x2−2x+e2x=f(x)F'(x) = 3x^2 - 2x + \dfrac{1}{2} \times 2e^{2x} = 3x^2 - 2x + e^{2x} = f(x).

Calculer l'intégrale à partir de celle-ci

Appliquer la définition : I=F(1)−F(0)I = F(1) - F(0).

  • F(1)=13−12+12e2=0+12e2=e22F(1) = 1^3 - 1^2 + \dfrac{1}{2}e^{2} = 0 + \dfrac{1}{2}e^2 = \dfrac{e^2}{2} ;
  • F(0)=0−0+12e0=12F(0) = 0 - 0 + \dfrac{1}{2}e^{0} = \dfrac{1}{2}.

I=e22−12=e2−12≈3,19I = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{e^2 - 1}{2} \approx 3{,}19

Simplifier un calcul avec les propriétés de l'intégrale

Avec la linéarité. On peut aussi découper l'intégrale :

I=3∫01x2 dx−2∫01x dx+∫01e2x dxI = 3\int_0^1 x^2\,dx - 2\int_0^1 x\,dx + \int_0^1 e^{2x}\,dx

avec

  • ∫01x2 dx=[x33]01=13\displaystyle \int_0^1 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3} ;
  • ∫01x dx=[x22]01=12\displaystyle \int_0^1 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2} ;
  • ∫01e2x dx=[12e2x]01=e2−12\displaystyle \int_0^1 e^{2x}\,dx = \left[\frac{1}{2}e^{2x}\right]_0^1 = \frac{e^2 - 1}{2}.

Donc I=3×13−2×12+e2−12=1−1+e2−12=e2−12I = 3 \times \dfrac{1}{3} - 2 \times \dfrac{1}{2} + \dfrac{e^2 - 1}{2} = 1 - 1 + \dfrac{e^2 - 1}{2} = \dfrac{e^2 - 1}{2}. On retrouve le même résultat.

Avec Chasles et le changement de sens des bornes (sans primitive). Parfois, on ne connaît pas la fonction mais seulement certaines intégrales. Soit gg une fonction continue telle que :

∫02g(x) dx=3et∫52g(x) dx=−4\int_0^2 g(x)\,dx = 3 \qquad \text{et} \qquad \int_5^2 g(x)\,dx = -4

  • Changement de sens des bornes : ∫25g(x) dx=−∫52g(x) dx=4\displaystyle \int_2^5 g(x)\,dx = -\int_5^2 g(x)\,dx = 4.
  • Relation de Chasles : ∫05g(x) dx=∫02g(x) dx+∫25g(x) dx=3+4=7\displaystyle \int_0^5 g(x)\,dx = \int_0^2 g(x)\,dx + \int_2^5 g(x)\,dx = 3 + 4 = 7.
  • Linéarité : ∫02(2g(x)+1) dx=2×3+∫021 dx=6+2=8\displaystyle \int_0^2 \big(2g(x) + 1\big)\,dx = 2 \times 3 + \int_0^2 1\,dx = 6 + 2 = 8.

2. Erreurs fréquentes

Utiliser une mauvaise primitive

Revoir le tableau des primitives usuelles, et vérifier en dérivant.

Une primitive de 1x2\dfrac{1}{x^2} est −1x-\dfrac{1}{x}, et non ln⁡(x)\ln(x). Ainsi ∫121x2 dx=[−1x]12=−12+1=12\displaystyle \int_1^2 \frac{1}{x^2}\,dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_1^2 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}.

Oublier de prendre en compte les coefficients lors du calcul d'une primitive

Une primitive de e2xe^{2x} est 12e2x\dfrac{1}{2}e^{2x}, et non e2xe^{2x}.

Avec cette erreur, on trouverait ∫01e2x dx=e2−1\displaystyle \int_0^1 e^{2x}\,dx = e^2 - 1 au lieu de la bonne valeur e2−12\dfrac{e^2 - 1}{2}.

Se tromper dans le calcul de F(b)−F(a)F(b) - F(a)

Mettre F(a)F(a) entre parenthèses, surtout quand elle est négative.

Pour ∫−12x2 dx\displaystyle \int_{-1}^{2} x^2\,dx, avec F(x)=x33F(x) = \dfrac{x^3}{3} : F(2)−F(−1)=83−(−13)=93=3F(2) - F(-1) = \dfrac{8}{3} - \left(-\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{9}{3} = 3. Écrire 83−13\dfrac{8}{3} - \dfrac{1}{3} conduit à un résultat faux.

Inverser les bornes ou les valeurs aa et bb

Calculer toujours F(b)−F(a)F(b) - F(a) : la borne du haut moins la borne du bas, dans cet ordre.

∫20x dx\displaystyle \int_2^0 x\,dx vaut F(0)−F(2)=−2F(0) - F(2) = -2, et non 22.

Oublier qu'une intégrale peut être négative lorsqu'on l'interprète comme une aire algébrique

Une intégrale est une aire algébrique : elle peut être négative, ou nulle.

∫02(x−3) dx=−4\displaystyle \int_0^2 (x - 3)\,dx = -4 : la fonction est négative sur [0 ; 2][0\ ;\ 2]. L'aire géométrique est de 44 u.a., mais l'intégrale vaut −4-4. Dire « une aire ne peut pas être négative, donc j'ai fait une erreur » est faux.

Mal utiliser les propriétés de l'intégrale, notamment la linéarité ou la relation de Chasles

  • Linéarité : elle s'applique aux sommes et aux constantes, pas aux produits. ∫01x×x dx=13\displaystyle \int_0^1 x \times x\,dx = \frac{1}{3}, alors que ∫01x dx×∫01x dx=14\displaystyle \int_0^1 x\,dx \times \int_0^1 x\,dx = \frac{1}{4}.
  • Chasles : les bornes doivent s'enchaîner. On a ∫01f+∫13f=∫03f\displaystyle \int_0^1 f + \int_1^3 f = \int_0^3 f, mais ∫01f+∫23f≠∫03f\displaystyle \int_0^1 f + \int_2^3 f \neq \int_0^3 f en général. Avec f=1f = 1 : 1+1=2≠31 + 1 = 2 \neq 3.

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