Fiche de synthèse — Géométrie dans l'espace

1. Coordonnées et vecteurs

Si $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$ , alors :

\overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{pmatrix}

Dans un repère orthonormé, pour deux vecteurs $\vec u(x;y;z)$ et $\vec v(x';y';z')$ :

\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si :

\vec u\cdot\vec v=0

Deux vecteurs sont colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles.

2. Droites et plans

Représentation paramétrique d'une droite

Une droite passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur directeur $\vec u(a;b;c)$ admet une représentation paramétrique :

\begin{cases} x=x_A+at\\ y=y_A+bt\\ z=z_A+ct \end{cases} \qquad t\in\mathbb R

Le vecteur directeur indique la direction de la droite.

Équation cartésienne d'un plan

Un plan de vecteur normal $\vec n(a;b;c)$ admet une équation cartésienne de la forme :

ax+by+cz+d=0

Le vecteur normal est orthogonal à tous les vecteurs directeurs du plan.

Si le plan passe par $A(x_A;y_A;z_A)$ , alors le plan admet une équation cartésienne :

a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0

3. Positions relatives

Deux droites

Parallèles : leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Sécantes : elles ont un point commun et ne sont pas parallèles.

Pour déterminer si deux droites sont sécantes, on peut résoudre leurs équations paramétriques simultanément.

Une droite et un plan

On remplace les coordonnées paramétriques de la droite dans l'équation cartésienne du plan.

Une unique solution pour le paramètre : la droite coupe le plan en un point.
Aucune solution : la droite est parallèle au plan et n'y appartient pas.
Tous les paramètres conviennent : la droite est contenue dans le plan.

Deux plans

Des vecteurs normaux colinéaires indiquent que les plans sont parallèles ou confondus.
Des vecteurs normaux non colinéaires indiquent que les plans sont sécants selon une droite.

4. Réflexes essentiels : quelle méthode choisir ?

Calculer les coordonnées d'un vecteur : faire arrivée moins départ.
Montrer que deux vecteurs sont colinéaires : vérifier la proportionnalité de leurs coordonnées.
Montrer que deux vecteurs sont orthogonaux : calculer leur produit scalaire et vérifier qu'il est nul, il faut que ce soit dans un repère orthonormé.
Déterminer une représentation paramétrique de droite : identifier un point de la droite et un vecteur directeur.
Déterminer une équation cartésienne de plan : trouver un point du plan et un vecteur normal.
Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan : remplacer les coordonnées de la droite dans l'équation du plan.
Étudier la position relative de deux droites : comparer leurs vecteurs directeurs, puis vérifier si elles ont un point commun.
Étudier la position relative de deux plans : comparer leurs vecteurs normaux.

À retenir : choisir la représentation adaptée simplifie le problème. Les équations paramétriques servent notamment à décrire les points d'une droite ; l'équation cartésienne permet de vérifier si un point appartient à un plan.