Rappels : vecteurs, colinéarité et produit scalaire

Cette fiche reprend dans le plan les outils de Première dont on aura besoin en géométrie dans l'espace. Dans l'espace, il suffira d'ajouter une troisième coordonnée : les idées seront les mêmes.

Dans toute la fiche, le plan est muni d'un repère orthonormé.

1. Coordonnées et vecteurs

Coordonnées d'un point

Un point $A$ du plan est repéré par ses deux coordonnées : $A(x_A\ ;\ y_A)$ .

Exemple : $A(1\ ;\ 2)$ est le point d'abscisse $1$ et d'ordonnée $2$ .

Coordonnées d'un vecteur

Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ se calculent en faisant « arrivée moins départ » :

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$

Exemple : avec $A(1\ ;\ 2)$ et $B(4\ ;\ 6)$ : $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 6 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ .

Opérations sur les vecteurs

Pour $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ , $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ et un réel $k$ :

somme : $\vec{u} + \vec{v}\begin{pmatrix} x + x' \\ y + y' \end{pmatrix}$ ;
multiplication par un réel : $k\vec{u}\begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}$ ;
norme (longueur) : $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$ .

Exemple : avec $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ :

$\vec{u} + \vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}$ ;
$2\vec{u}\begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix}$ ;
$\|\vec{u}\| = \sqrt{9 + 16} = 5$ .

2. Colinéarité

Reconnaître deux vecteurs colinéaires

Deux vecteurs non nuls sont colinéaires lorsqu'ils ont la même direction : l'un s'obtient en multipliant l'autre par un réel $k$ . Soit :

$\vec{v} = k\,\vec{u}$

$\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ sont colinéaires si et seulement si :

$x\,y' - x'\,y = 0$

Exemple 1 : $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ : $2 \times 6 - 4 \times 3 = 12 - 12 = 0$ . Ils sont colinéaires (et $\vec{v} = 2\vec{u}$ ).

Exemple 2 : $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{w}\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$ : $2 \times 5 - 4 \times 3 = -2 \neq 0$ . Ils ne sont pas colinéaires.

Remarque : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si $x$ et $x'$ sont proportionnelles et si $y$ et $y'$ sont proportionnelles.

Exemple 1 : $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ : $x$ et $x'$ a pour coefficient de proportionnalité 2, de même pour $y$ et $y'$ .

Utiliser la colinéarité

La colinéarité sert à démontrer deux choses :

trois points sont alignés : $A$ , $B$ , $C$ sont alignés si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires ;
deux droites sont parallèles : $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

Exemple : $A(1\ ;\ 1)$ , $B(3\ ;\ 2)$ et $C(7\ ;\ 4)$ .

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix}$ : le coefficient de proportionnalité entre $x$ et $x'$ et $y$ et $y'$ est $3$ . Les vecteurs sont colinéaires : les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés.

3. Produit scalaire

Calcul du produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est un nombre, noté $\vec{u} \cdot \vec{v}$ . Il se calcule de deux façons.

Avec les coordonnées : pour $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = x\,x' + y\,y'$

Avec les normes et l'angle :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}})$

Exemple : $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

Avec les coordonnées : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 3 + 2 \times 1 = 5$ .
Pour trouver l'angle, on utilise $\|\vec{u}\| = \sqrt{5}$ et $\|\vec{v}\| = \sqrt{10}$ : $\cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) = \dfrac{5}{\sqrt{5} \times \sqrt{10}} = \dfrac{5}{\sqrt{50}} \approx 0{,}707$ , soit un angle d'environ $45^\circ$ .

Reconnaître les vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs sont orthogonaux (leurs directions forment un angle droit) si et seulement si leur produit scalaire est nul :

$\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

Exemple : $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}$ : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times (-3) + 3 \times 2 = -6 + 6 = 0$ . Les vecteurs sont orthogonaux.