Représentations paramétriques d'une droite

Question 1 : écrire une représentation paramétrique

L'idée. Pour décrire une droite, il faut deux choses : un point et une direction (un vecteur directeur). Un point $M(x\ ;\ y\ ;\ z)$ est sur la droite lorsqu'on y arrive en partant du point de départ $A$ et en avançant dans la direction $\vec{u}$, d'un certain multiple $t$ :

$\overrightarrow{AM} = t\,\vec{u}$

Étape 1 : choisir le point et le vecteur directeur. On prend $A$ comme point de départ. Un vecteur directeur de $(AB)$ est $\overrightarrow{AB}$ :

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 - 1 \\ 1 - 2 \\ 1 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

Étape 2 : écrire l'égalité $\overrightarrow{AM} = t\,\overrightarrow{AB}$ coordonnée par coordonnée.

$\begin{pmatrix} x - 1 \\ y - 2 \\ z + 1 \end{pmatrix} = t\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

Étape 3 : isoler $x$, $y$ et $z$.

$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = -1 + 2t \end{cases} \qquad t \in \mathbb{R}$

Lecture :

• pour $t = 0$, on est en $A(1\ ;\ 2\ ;\ -1)$ ;
• pour $t = 1$, on est en $B(3\ ;\ 1\ ;\ 1)$ ;
• chaque valeur de $t$ donne un point de la droite.

Question 2 : un point est-il sur la droite ?

L'idée. Un point appartient à la droite s'il existe une valeur de $t$ qui donne ses trois coordonnées à la fois.

Pour $C(5\ ;\ 0\ ;\ 3)$. On cherche $t$ avec la première équation :

$5 = 1 + 2t \iff t = 2$

Puis on vérifie avec les deux autres équations, pour $t = 2$ :

• $y = 2 - 2 = 0$ ✓ ;
• $z = -1 + 2 \times 2 = 3$ ✓.

Les trois coordonnées sont bonnes avec la même valeur $t = 2$ : $C$ appartient à $(AB)$.

Pour $D(0\ ;\ 3\ ;\ 0)$. On cherche $t$ avec la première équation :

$0 = 1 + 2t \iff t = -\frac{1}{2}$

Puis on vérifie avec la deuxième équation : $y = 2 - \left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{5}{2} \neq 3$ ✗.

Les coordonnées ne correspondent pas à la même valeur de $t$ : $D$ n'appartient pas à $(AB)$.

Question 3 : intersection de la droite et du plan

L'idée. Un point commun à la droite et au plan a ses coordonnées de la forme $(1 + 2t\ ;\ 2 - t\ ;\ -1 + 2t)$ et vérifie l'équation du plan. On remplace donc $x$, $y$, $z$ dans l'équation du plan.

Étape 1 : remplacer.

$(1 + 2t) + (2 - t) + (-1 + 2t) - 4 = 0$

Étape 2 : développer et simplifier.

$1 + 2t + 2 - t - 1 + 2t - 4 = 3t - 2 = 0$

Étape 3 : résoudre. $3t - 2 = 0 \iff t = \dfrac{2}{3}$.

On trouve une seule valeur de $t$ : la droite $(AB)$ est sécante au plan $(P)$ en un unique point.

Étape 4 : retrouver le point. Remplacer $t = \dfrac{2}{3}$ dans la représentation paramétrique :

$x = 1 + \frac{4}{3} = \frac{7}{3} \qquad y = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \qquad z = -1 + \frac{4}{3} = \frac{1}{3}$

Le point d'intersection est $\left(\dfrac{7}{3}\ ;\ \dfrac{4}{3}\ ;\ \dfrac{1}{3}\right)$.

Vérification : $\dfrac{7}{3} + \dfrac{4}{3} + \dfrac{1}{3} - 4 = \dfrac{12}{3} - 4 = 0$ ✓.

Question 4 : projeté orthogonal et distance

L'idée. Le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $(AB)$ est le point de la droite tel que $\overrightarrow{MH}$ est orthogonal au vecteur directeur $\overrightarrow{AB}$. Comme $H$ est sur la droite, ses coordonnées s'écrivent avec $t$.

Étape 1 : écrire $H$ avec le paramètre.

$H(1 + 2t\ ;\ 2 - t\ ;\ -1 + 2t)$

Étape 2 : calculer $\overrightarrow{MH}$ (arrivée moins départ, avec $M(6\ ;\ 2\ ;\ 3)$) :

$\overrightarrow{MH}\begin{pmatrix} 1 + 2t - 6 \\ 2 - t - 2 \\ -1 + 2t - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2t - 5 \\ -t \\ 2t - 4 \end{pmatrix}$

Étape 3 : imposer l'orthogonalité $\overrightarrow{MH} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$, avec $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ :

$2(2t - 5) + (-1)(-t) + 2(2t - 4) = 4t - 10 + t + 4t - 8 = 9t - 18 = 0$

Étape 4 : résoudre. $9t - 18 = 0 \iff t = 2$.

Étape 5 : retrouver $H$. Pour $t = 2$ :

$H(1 + 4\ ;\ 2 - 2\ ;\ -1 + 4) = H(5\ ;\ 0\ ;\ 3)$

On retrouve le point $C$ de la question 2 : le projeté orthogonal de $M$ sur $(AB)$ est $C$.

Étape 6 : calculer la distance. C'est la longueur $MH$. Pour $t = 2$ : $\overrightarrow{MH}\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$, donc :

$MH = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{5}$

La distance de $M$ à la droite $(AB)$ est $\sqrt{5} \approx 2{,}24$.

Vérification : $\overrightarrow{MH} \cdot \overrightarrow{AB} = (-1) \times 2 + (-2) \times (-1) + 0 \times 2 = -2 + 2 + 0 = 0$ ✓.